《2025年一本预备新高一数学》

【典例2】用列举法表示集合$M = \left\{ m | \frac { 10 } { m + 2 } \in \mathbf { N }, m \in \mathbf { Z } \right\} =$______.

答案： 解题指导 由“$\frac { 10 } { m + 2 } \in \mathbf { N }, m \in \mathbf { Z }$”得出$m + 2$为10的正因数,进而列出等式,求得m.
解析 根据题意,得$m + 2 = 1,2,5,10$,解得$m = - 1,0,3,8$,故集合M用列举法表示为$\{ - 1,0,3,8 \}$.
答案$\{ - 1,0,3,8 \}$

【变式1】大于-1、不大于11且除以3余2的全体整数,用描述法表示为______,用列举法表示为______.

答案： $\{ x|x=3n+2,n∈N,-1＜x≤11\} $（答案不唯一）$\{ 2,5,8,11\} $

【变式2】(多选)集合$A = \left\{ x \in \mathbf { N } | \frac { 6 } { 3 - x } \in \mathbf { N } \right\}$,集合A还可以表示为()
A.$\{ 3,6 \}$
B.$\{ x | x ( x ^ { 2 } - 3 x + 2 ) = 0 \}$
C.$\{ 0,1,2 \}$
D.$\{ x \in \mathbf { N } | - 1 \leqslant x ＜ 3 \}$

答案： BCD 集合$A=\{ x∈N|\frac {6}{3-x}∈N\} =\{ 0,1,2\} $，故选项A不符合题意；$\{ x|x(x^{2}-3x+2)=0\} =\{ x|x(x-1)(x-2)=0\} =\{ 0,1,2\} $，故选项B、选项C符合题意；$\{ x∈N|-1≤x＜3\} =\{ 0,1,2\} $，故选项D符合题意。

【典例3】已知集合$A = \{ x \in \mathbf { R } | a x ^ { 2 } - 2 x + 2 = 0, a \in \mathbf { R } \}$,若A中只有一个元素,求出a的值,并求出集合A.

答案： 解题指导 第1步:因为方程的二次项系数含参数a,所以需按方程是一元一次方程和一元二次方程进行分类讨论,即讨论$a = 0和a \neq 0$两种情况.
第2步:每种情况下,根据A中只有一个元素,进行检验或列出含参方程.
第3步:求得参数a,代入原集合求得集合A.
答案 解:①当$a = 0$时,集合$A = \{ x \in \mathbf { R } | - 2 x + 2 = 0 \} = \{ 1 \}$,符合题意;
②当$a \neq 0$时,令$\Delta = 0$,即$4 - 8 a = 0$,解得$a = \frac { 1 } { 2 }$,此时集合$A = \{ 2 \}$,符合题意.
综上所述,a的值为0或$\frac { 1 } { 2 }$.当$a = 0$时,集合$A = \{ 1 \}$;当$a = \frac { 1 } { 2 }$时,集合$A = \{ 2 \}$.

【变式3】已知集合$A = \{ x \in \mathbf { R } | m x ^ { 2 } - 2 x + 3 = 0, m \in \mathbf { R } \}$,若A中至多有一个元素,则m的取值范围为______.

答案： $\{ m|m=0$或$m≥\frac {1}{3}\} $ ①当$m=0$时，方程为$-2x+3=0$，解得$x=\frac {3}{2}$，符合题意。②当$m≠0$时，方程$mx^{2}-2x+3=0$为一元二次方程。令$Δ=4-12m≤0$，解得$m≥\frac {1}{3}$，即当$m≥\frac {1}{3}$时，方程$mx^{2}-2x+3=0$无实数根或有两个相等的实数根，符合题意。
综上所述，$m$的取值范围为$\{ m|m=0$或$m≥\frac {1}{3}\} $。