《2025年一本预备新高一数学》

【学以致用1】若集合 $ M $ 由大于 $ -2 $ 且小于 $ 1 $ 的实数构成,则下列关系式正确的是 ()
A. $ \sqrt{5} \in M $
B. $ 0 \notin M $
C. $ 1 \in M $
D. $ -\frac{\pi}{2} \in M $

答案： 根据题意，知若实数 $ a \in M $，则 $ -2 ＜ a ＜ 1 $。
依次判断四个选项是否属于上述范围。$ 2 ＜ \sqrt{5} ＜ 3 $，$ -\frac{\pi}{2} \approx -1.57 $，所以 $ \sqrt{5} \notin M $，$ 0 \in M $，$ 1 \notin M $，$ -\frac{\pi}{2} \in M $。

【学以致用2】若分别由 $ 1,2,3 $ 和 $ \sqrt{9},1,\sqrt{a} $ 组成的集合相等,则 $ a $ 的值为______.

答案： 易得 $ \sqrt{9} = 3 $。根据集合相等的定义，可列出等式 $ \sqrt{a} = 2 $，解得 $ a = 4 $。
【反思总结】若两集合相等，则集合中元素相同，但不一定按顺序对应相等。

【学以致用3】若集合 $ M $ 由大于 $ -2 $ 且小于 $ 1 $ 的实数构成,则 $ \frac{2}{\sqrt{5} + 1} $______ $ M $.(填“$ \in $”或“$ \notin $”)

答案： $ \in $ 易得 $ \frac{2}{\sqrt{5} + 1} = \frac{2(\sqrt{5} - 1)}{(\sqrt{5} + 1) \cdot (\sqrt{5} - 1)} = \frac{\sqrt{5} - 1}{2} $。
因为 $ 2 ＜ \sqrt{5} ＜ 3 $，所以 $ \frac{1}{2} ＜ \frac{\sqrt{5} - 1}{2} ＜ 1 $，所以 $ \frac{\sqrt{5} - 1}{2} \in M $，即 $ \frac{2}{\sqrt{5} + 1} \in M $。