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19. (6分)如图所示为小华利用软件在直角坐标系中画出的△ABC和它的位似图形△A₁B₁C₁(三角形的顶点都在格点上).
(1)在图中标出△ABC与△A₁B₁C₁的位似中心点M，并写出点M的坐标；
(2)若以点O为位似中心，请你在图中画出△A₁B₁C₁的位似图形△A₂B₂C₂(点A₁，B₁，C₁的对应点分别为A₂，B₂，C₂)，且△A₁B₁C₁与△A₂B₂C₂的相似比为2(只画一个即可).
(1)在图中标出△ABC与△A₁B₁C₁的位似中心点M，并写出点M的坐标；
(2)若以点O为位似中心，请你在图中画出△A₁B₁C₁的位似图形△A₂B₂C₂(点A₁，B₁，C₁的对应点分别为A₂，B₂，C₂)，且△A₁B₁C₁与△A₂B₂C₂的相似比为2(只画一个即可).
答案：
（1）如图，点$M$即为所求 点$M$的坐标为$(0,2)$ （2）答案不唯一，如图，$\triangle A_{2}B_{2}C_{2}$即为所求
（1）如图，点$M$即为所求 点$M$的坐标为$(0,2)$ （2）答案不唯一，如图，$\triangle A_{2}B_{2}C_{2}$即为所求
20. (8分)如图，在△ABC中，AC的垂直平分线分别交AB，AC于点D，E，CD与BE交于点F，BC = BE.
(1)求证：△CFE∽△ABC；
(2)判断F是否为线段BE的中点，并说明理由.
(1)求证：△CFE∽△ABC；
(2)判断F是否为线段BE的中点，并说明理由.
答案：
（1）$\because DE$垂直平分$AC$，$\therefore AD = CD$. $\therefore \angle ECF=\angle A$. $\because BC = BE$，$\therefore \angle CEF=\angle ACB$. $\therefore \triangle CFE\sim\triangle ABC$ （2）$F$为线段$BE$的中点 理由：$\because \triangle CFE\sim\triangle ABC$，$\therefore \frac{FE}{BC}=\frac{CE}{AC}$. $\because DE$垂直平分$AC$，$\therefore CE=\frac{1}{2}AC$. $\therefore \frac{CE}{AC}=\frac{1}{2}$. $\therefore \frac{FE}{BC}=\frac{1}{2}$. $\because BC = BE$，$\therefore \frac{FE}{BE}=\frac{1}{2}$. $\therefore F$为线段$BE$的中点.
21. (10分)(杭州中考)如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，连接DE，EF，四边形BFED是平行四边形，且$\frac{DE}{BC}=\frac{1}{4}$.
(1)若AB = 8，求线段AD的长；
(2)若△ADE的面积为1，求□BFED的面积.
(1)若AB = 8，求线段AD的长；
(2)若△ADE的面积为1，求□BFED的面积.
答案：
（1）$\because$四边形$BFED$是平行四边形，$\therefore DE// BC$. $\therefore \triangle ADE\sim\triangle ABC$. $\therefore \frac{AD}{AB}=\frac{DE}{BC}=\frac{1}{4}$. $\because AB = 8$，$\therefore AD = 2$
（2）$\because \triangle ADE\sim\triangle ABC$，$\therefore \frac{DE}{BC}=\frac{AE}{AC}=\frac{1}{4}$，$\frac{S_{\triangle ADE}}{S_{\triangle ABC}}=(\frac{DE}{BC})^{2}=(\frac{1}{4})^{2}=\frac{1}{16}$. $\because S_{\triangle ADE}=1$，$\therefore S_{\triangle ABC}=16$. $\because \frac{AE}{AC}=\frac{1}{4}$，$\therefore \frac{CE}{AC}=\frac{3}{4}$. $\because$四边形$BFED$是平行四边形，$\therefore EF// AB$. $\therefore \triangle EFC\sim\triangle ABC$. $\therefore \frac{S_{\triangle EFC}}{S_{\triangle ABC}}=(\frac{CE}{AC})^{2}=(\frac{3}{4})^{2}=\frac{9}{16}$. $\therefore S_{\triangle EFC}=9$. $\therefore S_{\square BFED}=S_{\triangle ABC}-S_{\triangle EFC}-S_{\triangle ADE}=16 - 9 - 1 = 6$
（2）$\because \triangle ADE\sim\triangle ABC$，$\therefore \frac{DE}{BC}=\frac{AE}{AC}=\frac{1}{4}$，$\frac{S_{\triangle ADE}}{S_{\triangle ABC}}=(\frac{DE}{BC})^{2}=(\frac{1}{4})^{2}=\frac{1}{16}$. $\because S_{\triangle ADE}=1$，$\therefore S_{\triangle ABC}=16$. $\because \frac{AE}{AC}=\frac{1}{4}$，$\therefore \frac{CE}{AC}=\frac{3}{4}$. $\because$四边形$BFED$是平行四边形，$\therefore EF// AB$. $\therefore \triangle EFC\sim\triangle ABC$. $\therefore \frac{S_{\triangle EFC}}{S_{\triangle ABC}}=(\frac{CE}{AC})^{2}=(\frac{3}{4})^{2}=\frac{9}{16}$. $\therefore S_{\triangle EFC}=9$. $\therefore S_{\square BFED}=S_{\triangle ABC}-S_{\triangle EFC}-S_{\triangle ADE}=16 - 9 - 1 = 6$
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