《2025年通城学典活页检测九年级数学下册人教版》

1. (南充中考)如图，小兵同学从A处出发向正东方向走x米到达B处，再向正北方向走到C处，已知∠BAC = $\alpha$，则A，C两处相距 ( )

A. $\frac{x}{\sin\alpha}$米
B. $\frac{x}{\cos\alpha}$米
C. $x\sin\alpha$米
D. $x\cos\alpha$米

答案： B

2. 如果把一个直角三角形的各边长都扩大为原来的3倍，那么它的各锐角的三角函数值 ( )
A. 都扩大为原来的3倍
B. 都缩小为原来的$\frac{1}{3}$
C. 都不变
D. 以上都不对

答案： C

3. 如图，等边三角形ABC内接于⊙O，D是⊙O上的任意一点，则$\sin\angle ADB$的值为 ( )

A. 1
B. $\frac{1}{2}$
C. $\frac{\sqrt{3}}{2}$
D. $\frac{\sqrt{2}}{2}$

答案： C

4. 某数学兴趣小组借助无人机测量一条河流的宽度BC. 如图，无人机在P处测得正前方河流的点B处的俯角∠DPB = $\alpha$，点C处的俯角∠DPC = 45°，点A，B，C在同一条水平直线上. 若AP = 45 m，$\tan\alpha = 3$，则河流的宽度BC为 ( )

A. 30 m
B. 25 m
C. 20 m
D. 15 m

答案： A

5. 如图，在△ABC中，AB = $4\sqrt{2}$，$\tan C = \frac{4}{3}$，过点A作AD⊥BC交边BC于点D，且AD = BD，则BC的长为 ( )

A. 8
B. $8\sqrt{2}$
C. 7
D. $7\sqrt{2}$

答案： C

6. 如图所示为我国古代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的大正方形. 若小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为$\alpha$，则$\cos\alpha$的值为 ( )

A. $\frac{3}{4}$
B. $\frac{4}{3}$
C. $\frac{3}{5}$
D. $\frac{4}{5}$

答案： D

7. 锐角$\alpha$满足$\sin\alpha ＞ \frac{\sqrt{2}}{2}$，且$\tan\alpha ＜ \sqrt{3}$，则$\alpha$的取值范围是 ( )
A. $30^{\circ} ＜ \alpha ＜ 45^{\circ}$
B. $45^{\circ} ＜ \alpha ＜ 60^{\circ}$
C. $60^{\circ} ＜ \alpha ＜ 90^{\circ}$
D. $30^{\circ} ＜ \alpha ＜ 60^{\circ}$

答案： B

8. 在△ABC中，CA = CB = 4，∠C是锐角，$\cos C = \frac{1}{4}$，则$\sin B$的值为 ( )
A. $\frac{\sqrt{10}}{2}$
B. $\frac{\sqrt{15}}{3}$
C. $\frac{\sqrt{6}}{4}$
D. $\frac{\sqrt{10}}{4}$

答案： D

9. 规定：$\sin(-x)=-\sin x$，$\cos(-x)=\cos x$，$\cos(x + y)=\cos x\cos y-\sin x\sin y$. 有下列结论：
①$\sin(-30^{\circ})=-\frac{1}{2}$；②$\cos 2x=\cos^{2}x-\sin^{2}x$；③$\cos(x - y)=\cos x\cos y+\sin x\sin y$；④$\cos 15^{\circ}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$. 其中，正确的个数为 ( )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4

答案： C