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9. 在△ABC中,点D在边BC上,连接AD,下列说法错误的是 （ ）
A. 若∠BAC = 90°,AB² = BD·BC,则AD⊥BC
B. 若AD⊥BC,AD² = BD·CD,则∠BAC = 90°
C. 若AD⊥BC,AB² = BD·BC,则∠BAC = 90°
D. 若∠BAC = 90°,AD² = BD·CD,则AD⊥BC
A. 若∠BAC = 90°,AB² = BD·BC,则AD⊥BC
B. 若AD⊥BC,AD² = BD·CD,则∠BAC = 90°
C. 若AD⊥BC,AB² = BD·BC,则∠BAC = 90°
D. 若∠BAC = 90°,AD² = BD·CD,则AD⊥BC
答案：
D
10. 如图,在直角坐标系中,正方形A₁B₁C₁A₂与正方形A₂B₂C₂A₃是以原点O为位似中心的位似图形,且相似比为$\frac{1}{2}$,点A₁,A₂,A₃在x轴上,延长A₃C₂交射线OB₁于点B₃,以A₃B₃为边作正方形A₃B₃C₃A₄;延长A₄C₃交射线OB₁于点B₄,以A₄B₄为边作正方形A₄B₄C₄A₅;….若OA₁ = 2,则正方形A₂₀₂₃B₂₀₂₃C₂₀₂₃A₂₀₂₄的面积是 （ ）
A. 2⁴⁰²²
B. 2⁴⁰²³
C. 2⁴⁰⁴⁶
D. 2⁴⁰⁴⁴
A. 2⁴⁰²²
B. 2⁴⁰²³
C. 2⁴⁰⁴⁶
D. 2⁴⁰⁴⁴
答案：
C 解析：
∵ 正方形$A_{1}B_{1}C_{1}A_{2}$与正方形$A_{2}B_{2}C_{2}A_{3}$是以原点$O$为位似中心的位似图形，且相似比为$\frac{1}{2}$，
∴ $\frac{A_{1}B_{1}}{A_{2}B_{2}}=\frac{1}{2}$，$\angle B_{1}A_{1}A_{2}=\angle B_{2}A_{2}A_{3}=90^{\circ}$。
∴ $A_{1}B_{1}// A_{2}B_{2}$。
∴ $\triangle OA_{1}B_{1}\sim\triangle OA_{2}B_{2}$。
∴ $\frac{A_{1}B_{1}}{A_{2}B_{2}}=\frac{OA_{1}}{OA_{2}}=\frac{1}{2}$。
∵ $OA_{1}=2$，
∴ $OA_{2}=4$。
∴ $A_{1}A_{2}=OA_{2}-OA_{1}=2$。
∴ $A_{2}B_{2}=4$。
∵ 四边形$A_{1}B_{1}C_{1}A_{2}$和四边形$A_{2}B_{2}C_{2}A_{3}$都是正方形，
∴ $A_{1}B_{1}=A_{1}A_{2}=2$，$A_{2}A_{3}=A_{2}B_{2}=4$。
∴ $OA_{3}=OA_{2}+A_{2}A_{3}=8$。同理，可得$\triangle OA_{2}B_{2}\sim\triangle OA_{3}B_{3}$。
∴ $\frac{A_{2}B_{2}}{A_{3}B_{3}}=\frac{OA_{2}}{OA_{3}}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$。
∴ $A_{3}B_{3}=8$。
∴ 正方形$A_{1}B_{1}C_{1}A_{2}$的面积为$2^{2}$，正方形$A_{2}B_{2}C_{2}A_{3}$的面积为$4^{2}=(2^{2})^{2}=2^{4}$，正方形$A_{3}B_{3}C_{3}A_{4}$的面积为$8^{2}=(2^{3})^{2}=2^{6}$，$\cdots$。
∴ 正方形$A_{2023}B_{2023}C_{2023}A_{2024}$的面积是$(2^{2023})^{2}=2^{4046}$。
∵ 正方形$A_{1}B_{1}C_{1}A_{2}$与正方形$A_{2}B_{2}C_{2}A_{3}$是以原点$O$为位似中心的位似图形，且相似比为$\frac{1}{2}$，
∴ $\frac{A_{1}B_{1}}{A_{2}B_{2}}=\frac{1}{2}$，$\angle B_{1}A_{1}A_{2}=\angle B_{2}A_{2}A_{3}=90^{\circ}$。
∴ $A_{1}B_{1}// A_{2}B_{2}$。
∴ $\triangle OA_{1}B_{1}\sim\triangle OA_{2}B_{2}$。
∴ $\frac{A_{1}B_{1}}{A_{2}B_{2}}=\frac{OA_{1}}{OA_{2}}=\frac{1}{2}$。
∵ $OA_{1}=2$，
∴ $OA_{2}=4$。
∴ $A_{1}A_{2}=OA_{2}-OA_{1}=2$。
∴ $A_{2}B_{2}=4$。
∵ 四边形$A_{1}B_{1}C_{1}A_{2}$和四边形$A_{2}B_{2}C_{2}A_{3}$都是正方形，
∴ $A_{1}B_{1}=A_{1}A_{2}=2$，$A_{2}A_{3}=A_{2}B_{2}=4$。
∴ $OA_{3}=OA_{2}+A_{2}A_{3}=8$。同理，可得$\triangle OA_{2}B_{2}\sim\triangle OA_{3}B_{3}$。
∴ $\frac{A_{2}B_{2}}{A_{3}B_{3}}=\frac{OA_{2}}{OA_{3}}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$。
∴ $A_{3}B_{3}=8$。
∴ 正方形$A_{1}B_{1}C_{1}A_{2}$的面积为$2^{2}$，正方形$A_{2}B_{2}C_{2}A_{3}$的面积为$4^{2}=(2^{2})^{2}=2^{4}$，正方形$A_{3}B_{3}C_{3}A_{4}$的面积为$8^{2}=(2^{3})^{2}=2^{6}$，$\cdots$。
∴ 正方形$A_{2023}B_{2023}C_{2023}A_{2024}$的面积是$(2^{2023})^{2}=2^{4046}$。
11. 若两个相似三角形的面积之比为3∶4,则这两个三角形的周长之比为_______.
答案：
$\sqrt{3}:2$
12. 如图,为了测量一栋楼的高度,小王在他的脚下放了一面镜子,然后向后退,直到他刚好在镜子中看到楼的顶部.如果小王的眼睛到地面的距离AB = 1.5 m,同时量得BC = 0.3 m,CE = 2 m,那么楼高DE = _______m.
答案：
10
13. 如图,在△ABC中,AB＞AC,D,E分别为边AB,AC上的点,AC = 3AD,AB = 3AE,F为边BC上的一点,添加一个条件使△FDB与△ADE相似,则该条件可以是____________.
答案：
答案不唯一，如$DF// AC$
14. 如图,在□ABCD中,AE = $\frac{2}{3}$AD,连接BE,交AC于点F,AC = 5,则CF的长为_______.
答案：
3
15. 如图,在△ABC中,点D,E分别在边AB,AC上,DE//BC,DE = 2,BC = 3,则$\frac{S_{\triangle ADE}}{S_{四边形DBCE}}$ = _______.
答案：
$\frac{4}{5}$
16. 如图,在矩形ABCD中,AB = 2,E为CD的中点,连接AE,BD交于点P,过点P作PQ⊥BC于点Q,则PQ = _______.
答案：
$\frac{4}{3}$
17. 如图,在直角坐标系中有点A(4,0),B(0,2).如果点C在x轴上(点C不与点A重合),那么当点C的坐标为____________时,以B,O,C为顶点的三角形与△AOB相似(写出两个即可).
答案：
答案不唯一，如$(-1,0)$或$(1,0)$
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