《2025年通城学典活页检测九年级数学下册人教版》

26.（12分）如图，在边长为10的正方形$ABCD$中，$E$是边$BC$上的一动点（与点$B$，$C$不重合），连接$AE$，$G$是$BC$延长线上的点，过点$E$作$AE$的垂线，交$\angle DCG$的平分线于点$F$，连接$FG$，$FG\perp BG$。
（1）求证：$\triangle BAE\sim\triangle GEF$；
（2）若$EC = 2$，求$\triangle CEF$的面积；
（3）当$EC$的长为多少时，$\triangle CEF$的面积最大？

答案： （1）因为四边形$ABCD$是正方形，$EF\perp AE$，$FG\perp BG$，所以$\angle B=\angle AEF=\angle FGB = 90^{\circ}$。所以$\angle BAE+\angle AEB = 90^{\circ}$，$\angle AEB+\angle GEF = 90^{\circ}$。所以$\angle BAE=\angle GEF$。所以$\triangle BAE\sim\triangle GEF$ （2）因为四边形$ABCD$是正方形，所以$AB = BC = 10$，$\angle DCB = 90^{\circ}$。所以$\angle DCG = 90^{\circ}$。因为$EC = 2$，所以$BE = 8$。因为$CF$平分$\angle DCG$，所以$\angle FCG=\frac{1}{2}\angle DCG = 45^{\circ}$。因为$\angle FGB = 90^{\circ}$，所以$\angle CFG = 45^{\circ}$。所以$\angle FCG=\angle CFG$。所以$FG = CG$。所以$EG = CE + CG = 2 + FG$。由（1），得$\triangle BAE\sim\triangle GEF$，所以$\frac{AB}{EG}=\frac{BE}{GF}$。所以$\frac{10}{2 + FG}=\frac{8}{FG}$。所以$FG = 8$。所以$S_{\triangle CEF}=\frac{1}{2}CE\cdot FG=\frac{1}{2}\times2\times8 = 8$ （3）设$CE = x$，则$BE = 10 - x$。由（2），得$CG = FG$，所以$EG = CE + CG = x + FG$。由（1），得$\triangle BAE\sim\triangle GEF$，所以$\frac{AB}{EG}=\frac{BE}{GF}$。所以$\frac{10}{x + FG}=\frac{10 - x}{FG}$。所以$FG = 10 - x$。所以$S_{\triangle CEF}=\frac{1}{2}CE\cdot FG=\frac{1}{2}x(10 - x)=-\frac{1}{2}(x^{2}-10x)=-\frac{1}{2}(x - 5)^{2}+\frac{25}{2}$。因为$-\frac{1}{2}＜0$，$0 ＜ x ＜ 10$，所以当$x = 5$时，$\triangle CEF$的面积最大，即当$EC = 5$时，$\triangle CEF$的面积最大