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21.(12分)研究发现：初中生在数学课上的听课注意力指标随上课时间的变化而变化，指标达到36为认真听讲，注意力指标$y$随时间$x$(单位：min)变化的函数图象如图所示. 当$0\leq x ＜ 10$或$10\leq x ＜ 20$时，图象是线段；当$20\leq x\leq 45$时，图象是反比例函数图象的一部分.
(1)求点$A$对应的指标；
(2)李老师在课上讲一道数学题需要17 min，他能否经过适当安排，使学生在认真听讲时进行讲解？
(1)求点$A$对应的指标；
(2)李老师在课上讲一道数学题需要17 min，他能否经过适当安排，使学生在认真听讲时进行讲解？
答案：
（1）当 $20\leqslant x\leqslant45$ 时，设反比例函数的解析式为 $y = \frac{k}{x}$。将 $C(20,45)$ 代入，得 $45=\frac{k}{20}$，解得 $k = 900$。$\therefore$ 反比例函数的解析式为 $y=\frac{900}{x}(20\leqslant x\leqslant45)$。把 $x = 45$ 代入 $y=\frac{900}{x}$，得 $y = 20$，$\therefore$ 点 $D$ 的坐标为 $(45,20)$。$\therefore$ 点 $A$ 的坐标为 $(0,20)$，即点 $A$ 对应的指标为 $20$ （2）当 $0\leqslant x\lt10$ 时，设线段 $AB$ 对应的函数解析式为 $y = mx + n$。把 $A(0,20)$，$B(10,45)$ 代入，得 $\begin{cases}n = 20\\10m + n = 45\end{cases}$，解得 $\begin{cases}m=\frac{5}{2}\\n = 20\end{cases}$。$\therefore$ 线段 $AB$ 对应的函数解析式为 $y=\frac{5}{2}x + 20(0\leqslant x\lt10)$。在 $y=\frac{5}{2}x + 20$ 中，当 $y\geqslant36$ 时，$\frac{5}{2}x + 20\geqslant36$，解得 $x\geqslant\frac{32}{5}$。当 $10\leqslant x\lt20$ 时，$y = 45\gt36$。在 $y=\frac{900}{x}$ 中，当 $y\geqslant36$ 时，$\frac{900}{x}\geqslant36$，解得 $0\lt x\leqslant25$。$\therefore$ 当 $\frac{32}{5}\leqslant x\leqslant25$ 时，注意力指标不低于 $36$。$\because$ 指标达到 $36$ 为认真听讲，而 $25-\frac{32}{5}=\frac{93}{5}\gt17$，$\therefore$ 李老师能经过适当安排，使学生在认真听讲时进行讲解
22.(15分)(济南中考)如图，一次函数$y = \frac{1}{2}x + 1$的图象与反比例函数$y = \frac{k}{x}(x ＞ 0)$的图象交于点$A(a,3)$，与$y$轴交于点$B$.
(1)求$a$，$k$的值.
(2)直线$CD$过点$A$，与反比例函数$y = \frac{k}{x}(x ＞ 0)$的图象交于点$C$，与$x$轴交于点$D$，$AC = AD$，连接$CB$.
① 求$\triangle ABC$的面积；
② 点$P$在反比例函数$y = \frac{k}{x}(x ＞ 0)$的图象上，点$Q$在$x$轴上，若以点$A$，$B$，$P$，$Q$为顶点的四边形是平行四边形，请求出所有符合条件的点$P$的坐标.
(1)求$a$，$k$的值.
(2)直线$CD$过点$A$，与反比例函数$y = \frac{k}{x}(x ＞ 0)$的图象交于点$C$，与$x$轴交于点$D$，$AC = AD$，连接$CB$.
① 求$\triangle ABC$的面积；
② 点$P$在反比例函数$y = \frac{k}{x}(x ＞ 0)$的图象上，点$Q$在$x$轴上，若以点$A$，$B$，$P$，$Q$为顶点的四边形是平行四边形，请求出所有符合条件的点$P$的坐标.
答案：
（1）把 $A(a,3)$ 代入 $y=\frac{1}{2}x + 1$，得 $\frac{1}{2}a + 1 = 3$，解得 $a = 4$。$\therefore$ 点 $A$ 的坐标为 $(4,3)$。把 $A(4,3)$ 代入 $y=\frac{k}{x}$，得 $3=\frac{k}{4}$，解得 $k = 12$ （2）① 如图①，过点 $A$ 作 $AM\perp x$ 轴于点 $M$，过点 $C$ 作 $CT\perp x$ 轴于点 $T$，$CT$ 交 $AB$ 于点 $E$，过点 $A$ 作 $AN\perp CT$ 于点 $N$，则 $\angle ANC=\angle CTD=\angle DMA = 90^{\circ}$。$\therefore AN// x$ 轴。$\therefore\angle CAN=\angle ADM$。在 $\triangle ACN$ 和 $\triangle DAM$ 中，$\begin{cases}\angle ANC=\angle DMA\\\angle CAN=\angle ADM\\AC = DA\end{cases}$，$\therefore\triangle ACN\cong\triangle DAM$。$\therefore CN = AM$。$\because AN// x$ 轴，$CT\perp x$ 轴，$AM\perp x$ 轴，$\therefore AM = NT$。$\because A(4,3)$，$\therefore AM = NT = CN = 3$。$\therefore$ 点 $C$ 的纵坐标是 $6$。把 $y = 6$ 代入 $y=\frac{12}{x}$，得 $6=\frac{12}{x}$，解得 $x = 2$。$\therefore$ 点 $C$ 的坐标为 $(2,6)$。把 $x = 2$ 代入 $y=\frac{1}{2}x + 1$，得 $y = 2$，$\therefore$ 点 $E$ 的坐标为 $(2,2)$。$\therefore CE = 6 - 2 = 4$。$\therefore S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}CE\cdot(x_{C}-x_{B})+\frac{1}{2}CE\cdot(x_{A}-x_{C})=\frac{1}{2}CE\cdot(x_{A}-x_{B})=\frac{1}{2}\times4\times4 = 8$ ② 把 $x = 0$ 代入 $y=\frac{1}{2}x + 1$，得 $y = 1$，$\therefore$ 点 $B$ 的坐标为 $(0,1)$。如图②，当 $AB$ 是对角线时，四边形 $APBQ$ 是平行四边形。$\because$ 点 $A$ 的坐标为 $(4,3)$，点 $B$ 的坐标为 $(0,1)$，点 $Q$ 的纵坐标为 $0$，$\therefore y_{P}=\frac{1 + 3}{2}\times2-0 = 4$。把 $y = 4$ 代入 $y=\frac{12}{x}$，得 $4=\frac{12}{x}$，解得 $x = 3$。$\therefore$ 点 $P$ 的坐标为 $(3,4)$。当 $AB$ 为边时，四边形 $ABQP$ 是平行四边形（图中的 $\square ABQ'P'$），$\therefore y_{P'}=\frac{3 + 0}{2}\times2-1 = 2$。把 $y = 2$ 代入 $y=\frac{12}{x}$，得 $2=\frac{12}{x}$，解得 $x = 6$。$\therefore$ 点 $P'$ 的坐标为 $(6,2)$。综上所述，点 $P$ 的坐标为 $(3,4)$ 或 $(6,2)$
（1）把 $A(a,3)$ 代入 $y=\frac{1}{2}x + 1$，得 $\frac{1}{2}a + 1 = 3$，解得 $a = 4$。$\therefore$ 点 $A$ 的坐标为 $(4,3)$。把 $A(4,3)$ 代入 $y=\frac{k}{x}$，得 $3=\frac{k}{4}$，解得 $k = 12$ （2）① 如图①，过点 $A$ 作 $AM\perp x$ 轴于点 $M$，过点 $C$ 作 $CT\perp x$ 轴于点 $T$，$CT$ 交 $AB$ 于点 $E$，过点 $A$ 作 $AN\perp CT$ 于点 $N$，则 $\angle ANC=\angle CTD=\angle DMA = 90^{\circ}$。$\therefore AN// x$ 轴。$\therefore\angle CAN=\angle ADM$。在 $\triangle ACN$ 和 $\triangle DAM$ 中，$\begin{cases}\angle ANC=\angle DMA\\\angle CAN=\angle ADM\\AC = DA\end{cases}$，$\therefore\triangle ACN\cong\triangle DAM$。$\therefore CN = AM$。$\because AN// x$ 轴，$CT\perp x$ 轴，$AM\perp x$ 轴，$\therefore AM = NT$。$\because A(4,3)$，$\therefore AM = NT = CN = 3$。$\therefore$ 点 $C$ 的纵坐标是 $6$。把 $y = 6$ 代入 $y=\frac{12}{x}$，得 $6=\frac{12}{x}$，解得 $x = 2$。$\therefore$ 点 $C$ 的坐标为 $(2,6)$。把 $x = 2$ 代入 $y=\frac{1}{2}x + 1$，得 $y = 2$，$\therefore$ 点 $E$ 的坐标为 $(2,2)$。$\therefore CE = 6 - 2 = 4$。$\therefore S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}CE\cdot(x_{C}-x_{B})+\frac{1}{2}CE\cdot(x_{A}-x_{C})=\frac{1}{2}CE\cdot(x_{A}-x_{B})=\frac{1}{2}\times4\times4 = 8$ ② 把 $x = 0$ 代入 $y=\frac{1}{2}x + 1$，得 $y = 1$，$\therefore$ 点 $B$ 的坐标为 $(0,1)$。如图②，当 $AB$ 是对角线时，四边形 $APBQ$ 是平行四边形。$\because$ 点 $A$ 的坐标为 $(4,3)$，点 $B$ 的坐标为 $(0,1)$，点 $Q$ 的纵坐标为 $0$，$\therefore y_{P}=\frac{1 + 3}{2}\times2-0 = 4$。把 $y = 4$ 代入 $y=\frac{12}{x}$，得 $4=\frac{12}{x}$，解得 $x = 3$。$\therefore$ 点 $P$ 的坐标为 $(3,4)$。当 $AB$ 为边时，四边形 $ABQP$ 是平行四边形（图中的 $\square ABQ'P'$），$\therefore y_{P'}=\frac{3 + 0}{2}\times2-1 = 2$。把 $y = 2$ 代入 $y=\frac{12}{x}$，得 $2=\frac{12}{x}$，解得 $x = 6$。$\therefore$ 点 $P'$ 的坐标为 $(6,2)$。综上所述，点 $P$ 的坐标为 $(3,4)$ 或 $(6,2)$
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