《2025年通城学典活页检测九年级数学下册人教版》

20.（6分）如图，在方格纸中，$\triangle OAB$的顶点坐标分别为$O(0,0)$，$A(-2,-1)$，$B(-1,-3)$，$\triangle O_{1}A_{1}B_{1}$与$\triangle OAB$是以点$P$为位似中心的位似图形。
（1）在图中标出位似中心$P$的位置，并写出点$P$及点$B$的对应点$B_{1}$的坐标；
（2）以原点$O$为位似中心，在$x$轴下方画出$\triangle OA_{2}B_{2}$，使$\triangle OA_{2}B_{2}$与$\triangle OAB$位似，且相似比为2，并写出点$B$的对应点$B_{2}$的坐标；
（3）$\triangle OAB$的内部一点$M$的坐标为$(a,b)$，直接写出点$M$在$\triangle OA_{2}B_{2}$中的对应点$M_{2}$的坐标。

答案：
（1）如图，点$P$即为所求 $P(-5,-1)$，$B_{1}(3,-5)$ （2）如图，$\triangle OA_{2}B_{2}$即为所求 $B_{2}(-2,-6)$ （3）$M_{2}(2a,2b)$

21.（6分）某小队在探险过程中发现了一个深坑，小队人员为了测出深坑的深度，采取如下方案：如图，在深坑左侧用观测仪$AB$从观测出发点$A$观测深坑底部的点$P$，且观测视线刚好经过深坑边缘的点$M$，在深坑右侧用观测仪$CD$从观测出发点$C$观测深坑底部的点$P$，且观测视线刚好经过深坑边缘的点$N$（点$E$，$B$，$M$，$N$，$D$，$F$在同一水平线上）。已知$AB\perp EM$，$CD\perp NF$，观测仪$AB$高2 m，观测仪$CD$高1 m，$BM = 1.6$ m，$DN = 0.8$ m，深坑的宽度$MN = 8.8$ m，请根据以上数据计算深坑的深度。

答案：
如图，过点$P$作$PH\perp EF$于点$H$。因为$AB\perp EF$，$PH\perp EF$，$CD\perp EF$，所以$\angle ABM=\angle PHM=\angle PHN=\angle CDN = 90^{\circ}$。又因为$\angle AMB=\angle PMH$，$\angle CND=\angle PNH$，所以$\triangle ABM\sim\triangle PHM$，$\triangle CDN\sim\triangle PHN$。所以$\frac{AB}{PH}=\frac{MB}{MH}$，$\frac{CD}{PH}=\frac{DN}{HN}$。所以$PH=\frac{AB\cdot MH}{MB}$，$PH=\frac{CD\cdot HN}{DN}$。所以$\frac{AB\cdot MH}{MB}=\frac{CD\cdot HN}{DN}$。由题意，得$AB = 2m$，$MB = 1.6m$，$CD = 1m$，$DN = 0.8m$，$MN = 8.8m$。设$MH = xm$，则$HN=(8.8 - x)m$，所以$\frac{2x}{1.6}=\frac{1\times(8.8 - x)}{0.8}$。所以$x = 4.4$。所以$PH=\frac{2\times4.4}{1.6}=5.5(m)$。所以深坑的深度为$5.5m$