《2025年通城学典活页检测九年级数学下册人教版》

18. 如图所示为学生构建的跳台模型示意图,跳台立柱OA = 10 m,OA⊥地面OC,跳台AB = 6 m,AB//OC,裁判坐在垂直于地面的高架座椅CD上,座椅高CD = 1.2 m,眼睛与座位的竖直距离DE = 0.8 m,裁判望向起跳点B的仰角α与望向立柱底部点O的俯角β互余,则裁判与立柱之间的水平距离OC为_______m.

答案： 8

19. (6分)如图,△ABC与△A₁B₁C₁是位似图形(三角形的顶点都在格点上).
(1) 在方格纸上建立直角坐标系,使得点A的坐标为(-6,-1),点C₁的坐标为(-3,2),此时点B的坐标为_______;
(2) 以点A为位似中心,在方格纸上作△AB₂C₂,使△AB₂C₂和△ABC位似,且相似比为$\frac{1}{2}$;
(3) 在图中标出△ABC与△A₁B₁C₁的位似中心P,并写出点P在(1)中建立的直角坐标系中的坐标:_______,此时四边形ABCP的周长为_______.

答案：

(1) 如图所示 $(-2,-5)$
(2) 如图，$\triangle AB_{2}C_{2}$即为所求
(3) 如图，点$P$即为所求 $(-2,1)$ $6\sqrt{2}+4\sqrt{5}$

20. (8分)如图,在锐角三角形ABC中,BC = 30,高AD = 20,矩形EFPQ的一边QP在边BC上,点E,F分别在AB,AC上,AD交EF于点H.当EQ的长为多少时,矩形EFPQ的面积为150?

答案：
∵ 四边形$EFPQ$是矩形，
∴ $EF// BC$，$\angle EQD=\angle QEH = 90^{\circ}$。
∵ $AD$是$\triangle ABC$的高，
∴ $\angle ADQ = 90^{\circ}$。
∴ 四边形$EQDH$是矩形。
∴ $EQ = HD$。
∵ $EF// BC$，
∴ $\angle AHE=\angle ADQ = 90^{\circ}$，$\triangle AEF\sim\triangle ABC$。
∴ $\frac{EF}{BC}=\frac{AH}{AD}$。
∴ $\frac{EF}{30}=\frac{20 - EQ}{20}$。
∴ $EF=-\frac{3}{2}EQ + 30$。
∵ 矩形$EFPQ$的面积为150，
∴ $EQ\cdot EF = 150$。
∴ $EQ\cdot(-\frac{3}{2}EQ + 30)=150$。
∴ $EQ = 10$。
∴ 当$EQ = 10$时，矩形$EFPQ$的面积为150

21. (8分)在初中物理中我们学过凸透镜的成像规律.如图,MN为一凸透镜,F是凸透镜的焦点.在焦点以外的主光轴上垂直放置一小蜡烛AB,透过凸透镜后成的像为CD.光路图如图所示:经过焦点的光线AE,通过凸透镜折射后平行于主光轴,并与经过凸透镜光心的光线AO汇聚于点C.
(1) 若焦距OF = 4,物距OB = 6,小蜡烛的高度AB = 1,求小蜡烛的像CD的长度;
(2) 设$x = \frac{OB}{OF},y = \frac{AB}{CD}$,求y关于x的函数解析式,并通过计算说明当物距大于2倍焦距时,所成的像是缩小的像.

答案：
(1) 由题意，得$AB// OE$，
∴ $\angle ABF=\angle EOF$，$\angle BAF=\angle OEF$。
∴ $\triangle ABF\sim\triangle EOF$。
∴ $\frac{AB}{EO}=\frac{BF}{OF}$，即$\frac{1}{OE}=\frac{6 - 4}{4}$。
∴ $OE = 2$。
∵ $OE// CD$，$CE// OD$，
∴ 四边形$OECD$是平行四边形。
∴ $CD = OE = 2$。
∴ 小蜡烛的像$CD$的长度为2
(2) 由题意，得$CD = OE$，
∴ $\frac{AB}{CD}=\frac{AB}{OE}=y$。由
(1)，得$\triangle ABF\sim\triangle EOF$。
∴ $\frac{BF}{OF}=\frac{AB}{EO}=y$。
∴ $\frac{BF + OF}{OF}=y + 1$。
∴ $\frac{OB}{OF}=y + 1$。
∴ $x = y + 1$。
∴ $y = x - 1$。当$\frac{OB}{OF}＞2$，即$x＞2$时，$y = x - 1＞1$。
∴ $\frac{AB}{CD}＞1$，即$AB＞CD$。
∴ 当物距大于2倍焦距时，所成的像是缩小的像