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15. 如图，反比例函数$y_1 = \frac{k}{x}$的图象和一次函数$y_2 = ax + b$的图象交于$A(-1,2)$，$B(2,-1)$两点，则当$-2 ＜ y_1 ＜ y_2 ＜ \frac{1}{2}$时，$x$的取值范围是___________.
答案：
$1\lt x\lt2$
16.(温州中考)在温度不变的条件下，通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压，加压后气体对汽缸壁所产生的压强$p$(单位：kPa)与汽缸内气体的体积$V$(单位：mL)成反比例，$p$关于$V$的函数图象如图所示. 若压强由$75kPa$增加到$100kPa$，则气体的体积减少了_______mL.
答案：
20
17. 对于反比例函数$y = - \frac{2}{x}$，当$0 ＜ x \leq a$($a ＞ 0$)时，$y \leq - 1$恒成立，则$a$的取值范围是_______.
答案：
$0\lt a\leqslant2$
18. 如图，在$\triangle OAB$中，点$A$在$y$轴上，反比例函数$y = \frac{k}{x}(x ＞ 0)$的图象经过点$B$，并与$AB$交于点$C$. 若$BC = 2AC$，$S_{\triangle OAB} = 12$，则$k$的值为_______.
答案：
$-6$
19.(9分)反比例函数$y = \frac{4}{x}$的图象如图所示，一次函数$y = kx + b$的图象与反比例函数$y = \frac{4}{x}$的图象交于$A(m,4)$，$B(-2,n)$两点.
(1)求一次函数的解析式，并在所给的直角坐标系中画出该函数的图象；
(2)观察图象，直接写出不等式$kx + b ＜ \frac{4}{x}$的解集.
(1)求一次函数的解析式，并在所给的直角坐标系中画出该函数的图象；
(2)观察图象，直接写出不等式$kx + b ＜ \frac{4}{x}$的解集.
答案：
（1）$\because$ 点 $A(m,4)$，$B(-2,n)$ 在反比例函数 $y = \frac{4}{x}$ 的图象上，$\therefore 4m = 4$，$-2n = 4$，解得 $m = 1$，$n = -2$。$\therefore$ 点 $A$ 的坐标为 $(1,4)$，点 $B$ 的坐标为 $(-2,-2)$。把 $(1,4)$，$(-2,-2)$ 代入 $y = kx + b$，得 $\begin{cases}k + b = 4\\-2k + b = -2\end{cases}$，解得 $\begin{cases}k = 2\\b = 2\end{cases}$。$\therefore$ 一次函数的解析式为 $y = 2x + 2$。画出函数 $y = 2x + 2$ 的图象如图所示 （2）由图象可知，不等式 $2x + 2\lt\frac{4}{x}$ 的解集为 $x\lt - 2$ 或 $0\lt x\lt1$
（1）$\because$ 点 $A(m,4)$，$B(-2,n)$ 在反比例函数 $y = \frac{4}{x}$ 的图象上，$\therefore 4m = 4$，$-2n = 4$，解得 $m = 1$，$n = -2$。$\therefore$ 点 $A$ 的坐标为 $(1,4)$，点 $B$ 的坐标为 $(-2,-2)$。把 $(1,4)$，$(-2,-2)$ 代入 $y = kx + b$，得 $\begin{cases}k + b = 4\\-2k + b = -2\end{cases}$，解得 $\begin{cases}k = 2\\b = 2\end{cases}$。$\therefore$ 一次函数的解析式为 $y = 2x + 2$。画出函数 $y = 2x + 2$ 的图象如图所示 （2）由图象可知，不等式 $2x + 2\lt\frac{4}{x}$ 的解集为 $x\lt - 2$ 或 $0\lt x\lt1$
20.(10分)(乐山中考)如图，点$A(1,m)$，$B(n,1)$在反比例函数$y = \frac{3}{x}(x ＞ 0)$的图象上，过点$A$的一次函数$y = kx + b$的图象与$y$轴交于点$C(0,1)$.
(1)求$m$，$n$的值和一次函数的解析式；
(2)连接$AB$，求点$C$到线段$AB$的距离.
(1)求$m$，$n$的值和一次函数的解析式；
(2)连接$AB$，求点$C$到线段$AB$的距离.
答案：
（1）$\because$ 点 $A(1,m)$，$B(n,1)$ 在反比例函数 $y = \frac{3}{x}$ 的图象上，$\therefore m = 3$，$n = 3$。又 $\because$ 一次函数 $y = kx + b$ 的图象过点 $A(1,3)$，$C(0,1)$，$\therefore\begin{cases}k + b = 3\\b = 1\end{cases}$，解得 $\begin{cases}k = 2\\b = 1\end{cases}$。$\therefore$ 一次函数的解析式为 $y = 2x + 1$ （2）如图，连接 $BC$，过点 $A$ 作 $AD\perp BC$，垂足为 $D$，过点 $C$ 作 $CE\perp AB$，垂足为 $E$。$\because C(0,1)$，$B(3,1)$，$\therefore BC// x$ 轴，$BC = 3$。$\because A(1,3)$，$B(3,1)$，$AD\perp BC$，$\therefore D(1,1)$，$AD = 2$，$BD = 2$。在 $Rt\triangle ADB$ 中，由勾股定理，得 $AB=\sqrt{AD^{2}+BD^{2}}=\sqrt{2^{2}+2^{2}} = 2\sqrt{2}$。$\because S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}BC\cdot AD=\frac{1}{2}AB\cdot CE$，即 $\frac{1}{2}\times3\times2=\frac{1}{2}\times2\sqrt{2}\times CE$，$\therefore CE=\frac{3\sqrt{2}}{2}$，即点 $C$ 到线段 $AB$ 的距离为 $\frac{3\sqrt{2}}{2}$
（1）$\because$ 点 $A(1,m)$，$B(n,1)$ 在反比例函数 $y = \frac{3}{x}$ 的图象上，$\therefore m = 3$，$n = 3$。又 $\because$ 一次函数 $y = kx + b$ 的图象过点 $A(1,3)$，$C(0,1)$，$\therefore\begin{cases}k + b = 3\\b = 1\end{cases}$，解得 $\begin{cases}k = 2\\b = 1\end{cases}$。$\therefore$ 一次函数的解析式为 $y = 2x + 1$ （2）如图，连接 $BC$，过点 $A$ 作 $AD\perp BC$，垂足为 $D$，过点 $C$ 作 $CE\perp AB$，垂足为 $E$。$\because C(0,1)$，$B(3,1)$，$\therefore BC// x$ 轴，$BC = 3$。$\because A(1,3)$，$B(3,1)$，$AD\perp BC$，$\therefore D(1,1)$，$AD = 2$，$BD = 2$。在 $Rt\triangle ADB$ 中，由勾股定理，得 $AB=\sqrt{AD^{2}+BD^{2}}=\sqrt{2^{2}+2^{2}} = 2\sqrt{2}$。$\because S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}BC\cdot AD=\frac{1}{2}AB\cdot CE$，即 $\frac{1}{2}\times3\times2=\frac{1}{2}\times2\sqrt{2}\times CE$，$\therefore CE=\frac{3\sqrt{2}}{2}$，即点 $C$ 到线段 $AB$ 的距离为 $\frac{3\sqrt{2}}{2}$
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