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22.（8分）如图，在直角坐标系中，一次函数$y_{1}=kx + b$的图象与反比例函数$y_{2}=\frac{m}{x}(m＞0)$的图象交于点$A(1,2)$，$B(n,-1)$。
（1）求两个函数的解析式；
（2）根据图象，直接写出关于$x$的不等式$kx + b\leqslant\frac{m}{x}$的解集；
（3）若$P$为$y$轴上的一个动点，$Q$为双曲线上的一个动点，当以$A$，$B$，$P$，$Q$为顶点的四边形是平行四边形时，求点$P$的坐标。
（1）求两个函数的解析式；
（2）根据图象，直接写出关于$x$的不等式$kx + b\leqslant\frac{m}{x}$的解集；
（3）若$P$为$y$轴上的一个动点，$Q$为双曲线上的一个动点，当以$A$，$B$，$P$，$Q$为顶点的四边形是平行四边形时，求点$P$的坐标。
答案：
（1）把$A(1,2)$代入$y_{2}=\frac{m}{x}(m ＞ 0)$，得$m = 2$，所以反比例函数的解析式为$y_{2}=\frac{2}{x}$。把$B(n,-1)$代入$y_{2}=\frac{2}{x}$，得$-1=\frac{2}{n}$。所以$n=-2$。所以$B(-2,-1)$。因为一次函数$y_{1}=kx + b$的图象过点$A(1,2)$，$B(-2,-1)$，所以$\begin{cases}k + b = 2\\-2k + b = -1\end{cases}$，解得$\begin{cases}k = 1\\b = 1\end{cases}$。所以一次函数的解析式为$y_{1}=x + 1$ （2）由图象，可知关于$x$的不等式$kx + b\leqslant\frac{m}{x}$的解集是$x\leqslant -2$或$0 ＜ x\leqslant1$ （3）因为$P$为$y$轴上的一个动点，$Q$为双曲线上的一个动点，所以设$P(0,a)$，$Q(c,\frac{2}{c})$。因为以$A$，$B$，$P$，$Q$为顶点的四边形是平行四边形，所以当以$AP$为对角线时，由中点坐标公式，得$\begin{cases}1=-2 + c\\2 + a=-1+\frac{2}{c}\end{cases}$，解得$\begin{cases}a=-\frac{7}{3}\\c = 3\end{cases}$，所以$P(0,-\frac{7}{3})$。当以$AQ$为对角线时，由中点坐标公式，得$\begin{cases}1 + c=-2\\2+\frac{2}{c}=-1 + a\end{cases}$，解得$\begin{cases}a=\frac{7}{3}\\c=-3\end{cases}$，所以$P(0,\frac{7}{3})$。当以$AB$为对角线时，由中点坐标公式，得$\begin{cases}1-2 = c\\2-1=a+\frac{2}{c}\end{cases}$，解得$\begin{cases}a = 3\\c=-1\end{cases}$，所以$P(0,3)$。综上所述，点$P$的坐标为$(0,-\frac{7}{3})$或$(0,\frac{7}{3})$或$(0,3)$
23.（8分）如图，等边三角形$ABC$的边长为6，$P$，$D$分别是边$BC$，$AC$上的点，且$\angle APD = 60^{\circ}$，$BP = 2$，求$CD$的长。
答案：
因为$\triangle ABC$是等边三角形，所以$\angle B=\angle C = 60^{\circ}$，$AB = BC = 6$。所以$\angle BAP+\angle BPA = 120^{\circ}$。因为$\angle APD = 60^{\circ}$，所以$\angle BPA+\angle CPD = 120^{\circ}$。所以$\angle BAP=\angle CPD$。所以$\triangle ABP\sim\triangle PCD$。所以$\frac{AB}{PC}=\frac{BP}{CD}$。因为$PC = BC - BP = 6 - 2 = 4$，所以$\frac{6}{4}=\frac{2}{CD}$。所以$CD=\frac{4}{3}$
24.（10分）在实验课上，小明做了一个实验。如图①，在仪器左边托盘$A$（固定）中放置一个物体，在右边托盘$B$（可左右移动）中放置一个可以装水的容器，容器的质量为5 g。在容器中加入一定质量的水，可以使仪器左右平衡。改变托盘$B$与点$C$之间的距离$x$（单位：$cm$）（$0＜x\leqslant60$），记录容器中加入的水的质量，得到下表：
|托盘$B$与点$C$之间的距离$x/cm$|30|25|20|15|10|
|----|----|----|----|----|----|
|容器与水的总质量$y_{1}/g$|10|12|15|20|30|
|加入的水的质量$y_{2}/g$|5|7|10|15|25|
把上表中的$x$与$y_{1}$各组对应值作为点的坐标，在直角坐标系中描出这些点，并用光滑的曲线连接起来，得到如图②所示的$y_{1}$关于$x$的函数图象。
（1）请在该直角坐标系中作出$y_{2}$关于$x$的函数图象。
（2）观察函数图象，并结合表中的数据：
① 猜测$y_{1}$与$x$之间的函数关系，并求$y_{1}$关于$x$的函数解析式；
② 求$y_{2}$关于$x$的函数解析式；
③ 当$0＜x\leqslant60$时，$y_{1}$随$x$的增大而_______（填“增大”或“减小”），$y_{2}$随$x$的增大而_______（填“增大”或“减小”），函数$y_{2}$的图象可以由函数$y_{1}$的图象向_______（填“上”“下”“左”或“右”）平移得到。
（3）若在容器中加入的水的质量$y_{2}$（单位：$g$）满足$19\leqslant y_{2}\leqslant45$，求$x$的取值范围。
|托盘$B$与点$C$之间的距离$x/cm$|30|25|20|15|10|
|----|----|----|----|----|----|
|容器与水的总质量$y_{1}/g$|10|12|15|20|30|
|加入的水的质量$y_{2}/g$|5|7|10|15|25|
把上表中的$x$与$y_{1}$各组对应值作为点的坐标，在直角坐标系中描出这些点，并用光滑的曲线连接起来，得到如图②所示的$y_{1}$关于$x$的函数图象。
（1）请在该直角坐标系中作出$y_{2}$关于$x$的函数图象。
（2）观察函数图象，并结合表中的数据：
① 猜测$y_{1}$与$x$之间的函数关系，并求$y_{1}$关于$x$的函数解析式；
② 求$y_{2}$关于$x$的函数解析式；
③ 当$0＜x\leqslant60$时，$y_{1}$随$x$的增大而_______（填“增大”或“减小”），$y_{2}$随$x$的增大而_______（填“增大”或“减小”），函数$y_{2}$的图象可以由函数$y_{1}$的图象向_______（填“上”“下”“左”或“右”）平移得到。
（3）若在容器中加入的水的质量$y_{2}$（单位：$g$）满足$19\leqslant y_{2}\leqslant45$，求$x$的取值范围。
答案：
（1）如图，$y_{2}$关于$x$的函数图象即为所求 （2）①$y_{1}$是$x$的反比例函数 设$y_{1}=\frac{k}{x}(k\neq0)$。把$(30,10)$代入，得$10=\frac{k}{30}$，解得$k = 300$。所以$y_{1}$关于$x$的函数解析式为$y_{1}=\frac{300}{x}(0 ＜ x\leqslant60)$ ②因为$y_{1}=y_{2}+5$，所以$y_{2}+5=\frac{300}{x}$。所以$y_{2}$关于$x$的函数解析式为$y_{2}=\frac{300}{x}-5(0 ＜ x\leqslant60)$ ③减小 减小 下 （3）因为$y_{2}=\frac{300}{x}-5$，$19\leqslant y_{2}\leqslant45$，所以$19\leqslant\frac{300}{x}-5\leqslant45$。所以$24\leqslant\frac{300}{x}\leqslant50$，解得$6\leqslant x\leqslant12.5$
（1）如图，$y_{2}$关于$x$的函数图象即为所求 （2）①$y_{1}$是$x$的反比例函数 设$y_{1}=\frac{k}{x}(k\neq0)$。把$(30,10)$代入，得$10=\frac{k}{30}$，解得$k = 300$。所以$y_{1}$关于$x$的函数解析式为$y_{1}=\frac{300}{x}(0 ＜ x\leqslant60)$ ②因为$y_{1}=y_{2}+5$，所以$y_{2}+5=\frac{300}{x}$。所以$y_{2}$关于$x$的函数解析式为$y_{2}=\frac{300}{x}-5(0 ＜ x\leqslant60)$ ③减小 减小 下 （3）因为$y_{2}=\frac{300}{x}-5$，$19\leqslant y_{2}\leqslant45$，所以$19\leqslant\frac{300}{x}-5\leqslant45$。所以$24\leqslant\frac{300}{x}\leqslant50$，解得$6\leqslant x\leqslant12.5$
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