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25.（10分）如图，直线$y = -x + 7$与反比例函数$y = \frac{k}{x}$的图象交于点$A(1,m)$和点$B$。
（1）求$m$，$k$的值。
（2）若直线$AC\perp AB$，交反比例函数$y = \frac{k}{x}$的图象于第三象限的点$C$，求点$C$的坐标。
（3）在（2）的条件下，在$y$轴上是否存在点$D$，使$\angle BDC = 90^{\circ}$？若存在，求出点$D$的坐标；若不存在，请说明理由。
（1）求$m$，$k$的值。
（2）若直线$AC\perp AB$，交反比例函数$y = \frac{k}{x}$的图象于第三象限的点$C$，求点$C$的坐标。
（3）在（2）的条件下，在$y$轴上是否存在点$D$，使$\angle BDC = 90^{\circ}$？若存在，求出点$D$的坐标；若不存在，请说明理由。
答案：
（1）将$A(1,m)$代入$y=-x + 7$，得$m = 6$，所以点$A$的坐标为$(1,6)$。将$A(1,6)$代入$y=\frac{k}{x}$，得$k = 6$ （2）由（1），得反比例函数的解析式为$y=\frac{6}{x}$。当$-x + 7=\frac{6}{x}$时，$x = 1$或$x = 6$。在$y=\frac{6}{x}$中，当$x = 6$时，$y = 1$，所以点$B$的坐标为$(6,1)$。如图，过点$A$作$MN// x$轴，过点$C$作$CM\perp MN$于点$M$，过点$B$作$BN\perp MN$于点$N$，则$\angle M=\angle N = 90^{\circ}$。因为$AC\perp AB$，所以$\angle BAC = 90^{\circ}$。所以$\angle BAN+\angle CAM = 90^{\circ}$。因为$\angle N = 90^{\circ}$，所以$\angle BAN+\angle ABN = 90^{\circ}$。所以$\angle CAM=\angle ABN$。所以$\triangle ABN\sim\triangle CAM$。所以$\frac{AN}{CM}=\frac{BN}{AM}$。设点$C$的坐标为$(t,\frac{6}{t})$。因为$x_{B}=x_{N}=6$，$x_{A}=1$，所以$AN = 5$。因为$x_{C}=x_{M}=t$，所以$AM = 1 - t$。因为$y_{A}=y_{N}=6$，$y_{B}=1$，所以$BN = 5$。因为$y_{M}=y_{A}=6$，$y_{C}=\frac{6}{t}$，所以$CM = 6-\frac{6}{t}$。所以$\frac{5}{6-\frac{6}{t}}=\frac{5}{1 - t}$，解得$t_{1}=1$（增根，舍去），$t_{2}=-6$。所以点$C$的坐标为$(-6,-1)$ （3）存在 因为$B(6,1)$，$C(-6,-1)$，所以点$B$与点$C$关于原点对称。所以连接$BC$，$BC$必过点$O$。所以$OB=\frac{1}{2}BC$。当$\angle BDC = 90^{\circ}$时，$OD=\frac{1}{2}BC = OB$，所以$OD=OB=\sqrt{6^{2}+1^{2}}=\sqrt{37}$。所以点$D$的坐标为$(0,-\sqrt{37})$或$(0,\sqrt{37})$
（1）将$A(1,m)$代入$y=-x + 7$，得$m = 6$，所以点$A$的坐标为$(1,6)$。将$A(1,6)$代入$y=\frac{k}{x}$，得$k = 6$ （2）由（1），得反比例函数的解析式为$y=\frac{6}{x}$。当$-x + 7=\frac{6}{x}$时，$x = 1$或$x = 6$。在$y=\frac{6}{x}$中，当$x = 6$时，$y = 1$，所以点$B$的坐标为$(6,1)$。如图，过点$A$作$MN// x$轴，过点$C$作$CM\perp MN$于点$M$，过点$B$作$BN\perp MN$于点$N$，则$\angle M=\angle N = 90^{\circ}$。因为$AC\perp AB$，所以$\angle BAC = 90^{\circ}$。所以$\angle BAN+\angle CAM = 90^{\circ}$。因为$\angle N = 90^{\circ}$，所以$\angle BAN+\angle ABN = 90^{\circ}$。所以$\angle CAM=\angle ABN$。所以$\triangle ABN\sim\triangle CAM$。所以$\frac{AN}{CM}=\frac{BN}{AM}$。设点$C$的坐标为$(t,\frac{6}{t})$。因为$x_{B}=x_{N}=6$，$x_{A}=1$，所以$AN = 5$。因为$x_{C}=x_{M}=t$，所以$AM = 1 - t$。因为$y_{A}=y_{N}=6$，$y_{B}=1$，所以$BN = 5$。因为$y_{M}=y_{A}=6$，$y_{C}=\frac{6}{t}$，所以$CM = 6-\frac{6}{t}$。所以$\frac{5}{6-\frac{6}{t}}=\frac{5}{1 - t}$，解得$t_{1}=1$（增根，舍去），$t_{2}=-6$。所以点$C$的坐标为$(-6,-1)$ （3）存在 因为$B(6,1)$，$C(-6,-1)$，所以点$B$与点$C$关于原点对称。所以连接$BC$，$BC$必过点$O$。所以$OB=\frac{1}{2}BC$。当$\angle BDC = 90^{\circ}$时，$OD=\frac{1}{2}BC = OB$，所以$OD=OB=\sqrt{6^{2}+1^{2}}=\sqrt{37}$。所以点$D$的坐标为$(0,-\sqrt{37})$或$(0,\sqrt{37})$
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