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1. 在平面直角坐标系 $xOy$ 中，将抛物线 $y = x^{2}-1$ 在 $x$ 轴和 $x$ 轴下方的部分记作 $G_{1}$，将 $G_{1}$ 沿 $x$ 轴翻折记作 $G_{2}$，$G_{1}$ 和 $G_{2}$ 构成的图形记作 $G$，如图所示。关于图形 $G$，有下列三个结论，其中正确结论的序号是
①图形 $G$ 关于原点对称；
②图形 $G$ 关于直线 $y = x$ 对称；
③图形 $G$ 的面积为 $S$，满足 $2 ＜ S ＜ π$。
①③
。①图形 $G$ 关于原点对称；
②图形 $G$ 关于直线 $y = x$ 对称；
③图形 $G$ 的面积为 $S$，满足 $2 ＜ S ＜ π$。
答案：
1. ①③
2. 将函数 $y = x^{2}+2x$ 的图像绕 $y$ 轴上一点 $M$ 旋转 $180^{\circ}$，点 $M$ 在 $(0,-1)$ 下方，若旋转后的图像上恰有 $1$ 个横、纵坐标之和为零的点。求点 $M$ 的坐标。
答案：
2. 解：设 $ M(0,m) $，$ m ＜ -1 $。
$\because y = x^{2} + 2x = (x + 1)^{2} - 1$，
$\therefore$ 抛物线 $ y = x^{2} + 2x $ 的顶点坐标为 $ (-1,-1) $，
点 $ (-1,-1) $ 关于 $ M(0,m) $ 的对称点为 $ (1,2m + 1) $，
$\therefore$ 旋转后的抛物线的函数表达式为 $ y = -(x - 1)^{2} + 2m + 1 = -x^{2} + 2x + 2m $。
在 $ y = -x^{2} + 2x + 2m $ 中，令 $ y = -x $，
得 $ -x = -x^{2} + 2x + 2m $，$\therefore x^{2} - 3x - 2m = 0$。
$\because$ 旋转后的图像上恰有 1 个横、纵坐标之和为零的点，
$\therefore x^{2} - 3x - 2m = 0$ 有两个相等的实数根，
$\therefore 9 + 8m = 0$，$\therefore m = -\frac{9}{8}$，$\therefore$ 点 $ M $ 的坐标为 $ (0,-\frac{9}{8}) $。
$\because y = x^{2} + 2x = (x + 1)^{2} - 1$，
$\therefore$ 抛物线 $ y = x^{2} + 2x $ 的顶点坐标为 $ (-1,-1) $，
点 $ (-1,-1) $ 关于 $ M(0,m) $ 的对称点为 $ (1,2m + 1) $，
$\therefore$ 旋转后的抛物线的函数表达式为 $ y = -(x - 1)^{2} + 2m + 1 = -x^{2} + 2x + 2m $。
在 $ y = -x^{2} + 2x + 2m $ 中，令 $ y = -x $，
得 $ -x = -x^{2} + 2x + 2m $，$\therefore x^{2} - 3x - 2m = 0$。
$\because$ 旋转后的图像上恰有 1 个横、纵坐标之和为零的点，
$\therefore x^{2} - 3x - 2m = 0$ 有两个相等的实数根，
$\therefore 9 + 8m = 0$，$\therefore m = -\frac{9}{8}$，$\therefore$ 点 $ M $ 的坐标为 $ (0,-\frac{9}{8}) $。
3. 已知二次函数 $y = -x^{2}+2mx - m^{2}+3$（$m$ 是常数）。
（1）把该函数的图像沿 $y$ 轴向下平移多少个单位长度后，得到的函数的图像与 $x$ 轴只有一个公共点？
（2）将抛物线 $y = -x^{2}+2mx - m^{2}+3$（$m$ 是常数）在对称轴右侧的部分沿直线 $y = 3$ 翻折得到新图像 $G$，若新图像 $G$ 与直线 $y = x + 2$ 有三个交点，求 $m$ 的取值范围。
（1）把该函数的图像沿 $y$ 轴向下平移多少个单位长度后，得到的函数的图像与 $x$ 轴只有一个公共点？
（2）将抛物线 $y = -x^{2}+2mx - m^{2}+3$（$m$ 是常数）在对称轴右侧的部分沿直线 $y = 3$ 翻折得到新图像 $G$，若新图像 $G$ 与直线 $y = x + 2$ 有三个交点，求 $m$ 的取值范围。
答案：
3. 解：
(1) $ y = -x^{2} + 2mx - m^{2} + 3 = -(x - m)^{2} + 3 $，
把函数 $ y = -(x - m)^{2} + 3 $ 的图像沿 $ y $ 轴向下平移 3 个单位长度后，得到函数 $ y = -(x - m)^{2} $ 的图像，它的顶点坐标是 $ (m,0) $，
此时这个函数的图像与 $ x $ 轴只有一个公共点，
所以把函数 $ y = -x^{2} + 2mx - m^{2} + 3 $ 的图像沿 $ y $ 轴向下平移 3 个单位长度后，得到的函数的图像与 $ x $ 轴只有一个公共点。
(2) 翻折后所得图像的函数表达式为 $ y = (x - m)^{2} + 3 $。
① 当直线 $ y = x + 2 $ 与抛物线 $ y = (x - m)^{2} + 3 $ 有一个交点时，联立 $ \begin{cases} y = x + 2, \\ y = (x - m)^{2} + 3 \end{cases} $，
整理，得 $ x^{2} - (2m + 1)x + m^{2} + 1 = 0 $，
$\therefore (2m + 1)^{2} - 4(m^{2} + 1) = 0 $，解得 $ m = \frac{3}{4} $。
② 当直线 $ y = x + 2 $ 与抛物线 $ y = -(x - m)^{2} + 3 $ 有一个交点时，联立 $ \begin{cases} y = x + 2, \\ y = -(x - m)^{2} + 3 \end{cases} $，
整理，得 $ x^{2} - (2m - 1)x + m^{2} - 1 = 0 $，
$\therefore (2m - 1)^{2} - 4(m^{2} - 1) = 0 $，解得 $ m = \frac{5}{4} $。
$\therefore$ 当 $ \frac{3}{4} ＜ m ＜ \frac{5}{4} $ 时，新图像 $ G $ 与直线 $ y = x + 2 $ 有三个交点。
(1) $ y = -x^{2} + 2mx - m^{2} + 3 = -(x - m)^{2} + 3 $，
把函数 $ y = -(x - m)^{2} + 3 $ 的图像沿 $ y $ 轴向下平移 3 个单位长度后，得到函数 $ y = -(x - m)^{2} $ 的图像，它的顶点坐标是 $ (m,0) $，
此时这个函数的图像与 $ x $ 轴只有一个公共点，
所以把函数 $ y = -x^{2} + 2mx - m^{2} + 3 $ 的图像沿 $ y $ 轴向下平移 3 个单位长度后，得到的函数的图像与 $ x $ 轴只有一个公共点。
(2) 翻折后所得图像的函数表达式为 $ y = (x - m)^{2} + 3 $。
① 当直线 $ y = x + 2 $ 与抛物线 $ y = (x - m)^{2} + 3 $ 有一个交点时，联立 $ \begin{cases} y = x + 2, \\ y = (x - m)^{2} + 3 \end{cases} $，
整理，得 $ x^{2} - (2m + 1)x + m^{2} + 1 = 0 $，
$\therefore (2m + 1)^{2} - 4(m^{2} + 1) = 0 $，解得 $ m = \frac{3}{4} $。
② 当直线 $ y = x + 2 $ 与抛物线 $ y = -(x - m)^{2} + 3 $ 有一个交点时，联立 $ \begin{cases} y = x + 2, \\ y = -(x - m)^{2} + 3 \end{cases} $，
整理，得 $ x^{2} - (2m - 1)x + m^{2} - 1 = 0 $，
$\therefore (2m - 1)^{2} - 4(m^{2} - 1) = 0 $，解得 $ m = \frac{5}{4} $。
$\therefore$ 当 $ \frac{3}{4} ＜ m ＜ \frac{5}{4} $ 时，新图像 $ G $ 与直线 $ y = x + 2 $ 有三个交点。
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