《2026年启东中学作业本九年级数学下册苏科版徐州专版》

3. (1) 问题发现：
如图①，△ACB 和△DCE 均为等边三角形，点 A，D，E 在同一条直线上，连接 BE.
①线段 AD，BE 之间的数量关系为AD=BE；
②∠AEB 的度数为60°.
(2) 拓展探究：
如图②，△ACB 和△AED 均为等腰直角三角形，∠ACB=∠AED=90°，点 B，D，E 在同一条直线上，连接 CE，求$\frac{BD}{CE}$的值及∠BEC 的度数.
(3) 解决问题：
如图③，在正方形 ABCD 中，CD=√{10}，若点 P 满足 PD=√{2}，且∠BPD=90°，请直接写出点 C 到直线 BP 的距离.

答案：
3.
(1)①AD=BE　②60°　点拨:①
∵△ACB和△DCE均为等边三角形，
∴CA=CB=AB,CD=CE=DE,∠ACB=∠DCE=60°,
∴∠ACB−∠DCB=∠DCE−∠DCB,
∴∠ACD=∠BCE.
在△CDA和△CEB中，$\begin{cases}CA = CB,\\∠ACD = ∠BCE,\\CD = CE,\end{cases}$
∴△CDA≌△CEB(SAS),
∴AD=BE;
②
∵△CDA≌△CEB,
∴∠CEB=∠ADC.
∵∠CDE=60°,
∴∠ADC=120°=∠CEB,
∴∠AEB=∠CEB−∠AEC=120°−60°=60°.
(2)解:
∵△ACB和△AED均为等腰直角三角形，
∴∠DAE=∠ADE=45°,∠BAC=45°,$\frac{AD}{AE} = \frac{AB}{AC} = \sqrt{2}$，
∴∠DAE−∠CAD=∠BAC−∠CAD,
即∠CAE=∠BAD,
∴△CAE∽△BAD,
∴$\frac{BD}{CE} = \frac{AB}{AC} = \sqrt{2}$，∠AEC=∠ADB.
∵∠ADE=45°,
∴∠ADB=180°−∠ADE=180°−45°=135°.
∵∠AED=90°,
∴∠BEC=∠AEC−∠AED=135°−90°=45°.
(3)解:
∵点P满足PD= $\sqrt{2}$，
∴点P在以点D为圆心，$\sqrt{2}$为半径的圆上.
∵∠BPD=90°,
∴点P在以BD为直径的圆上，
如答图，点P是两圆的交点，若点P在BD上方，过点C 作CH⊥BP于点H,过点D作DE⊥CH于点E.

∵CD = $\sqrt{10} = BC$，∠BCD = 90°，
∴BD = $2\sqrt{5}$．
∵∠BPD = 90°，
∴BP = $\sqrt{BD^{2} - PD^{2}} = 3\sqrt{2}$．
∵∠BPD = ∠PHE = ∠DEH = 90°，
∴四边形PHED是矩形，∠1 + ∠3 = 90°，∠2 + ∠3 = 90°，
∴∠1 = ∠2，PH = DE．
在△BCH 和△CDE 中，$\begin{cases}∠1 = ∠2,\\∠BHC = ∠CED,\\BC = CD,\end{cases}$
∴△BCH≌△CDE，
∴BH = CE，CH = DE，
∴CH = PH．
∵BP = $3\sqrt{2}$，BC = $\sqrt{10}$，
∴CH = PH = $3\sqrt{2} - BH$，
在Rt△CHB中，$BC^{2} = CH^{2} + BH^{2}$，
即$(\sqrt{10})^{2} = (3\sqrt{2} - BH)^{2} + BH^{2}$，
解得BH = $\sqrt{2}$或BH = $2\sqrt{2}$(舍去)．
∴CH = $3\sqrt{2} - \sqrt{2} = 2\sqrt{2}$．
当点P在BD下方时，同理可得CH = $\sqrt{2}$．
∴点C到直线BP的距离为$\sqrt{2}$或$2\sqrt{2}$．