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1. 如图，将等边三角形纸片 $ ABC $ 折叠，使点 $ A $ 落在边 $ BC $ 上的点 $ D $ 处，$ MN $ 为折痕. 若 $\frac{BD}{DC} = \frac{1}{2}$，则 $\frac{AM}{AN}$ 的值为(
A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{2}{3}$
C.$\frac{4}{5}$
D.$\frac{5}{7}$
C
)A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{2}{3}$
C.$\frac{4}{5}$
D.$\frac{5}{7}$
答案：
1. C 点拨：$\because △ ABC$是等边三角形，
$\therefore ∠ A=∠ B=∠ C=60^{\circ}$，由折叠可知$△ AMN$与$△ DMN$关于$MN$对称，
$\therefore AM=DM$，$AN=DN$，$∠ A=∠ MDN=60^{\circ}$，
$\therefore ∠ BDM+∠ CDN=120^{\circ}$．
$\because ∠ BDM+∠ BMD=120^{\circ}$，$\therefore ∠ BMD=∠ CDN$．
$\because ∠ B=∠ C$，$\therefore △ BDM∽ △ CND$，
$\therefore \frac{BD}{CN}=\frac{BM}{CD}=\frac{DM}{ND}$．
$\because \frac{BD}{DC}=\frac{1}{2}$，设$BD=x$，$\therefore CD=2x$，
$\therefore BC=AB=AC=3x$，设$AM=DM=k$，$\therefore BM=3x - k$，
$\therefore \frac{x}{CN}=\frac{3x - k}{2x}$，$\therefore CN=\frac{2x^{2}}{3x - k}$，
$\therefore \frac{3x - k}{2x}=\frac{k}{DN}$，$\therefore DN=\frac{2xk}{3x - k}$．
$\because DN + CN=AN + CN=AC=3x$，
$\therefore \frac{2x^{2}}{3x - k}+\frac{2xk}{3x - k}=3x$，$\therefore k=\frac{7}{5}x$，
$\therefore DN=\frac{2x· \frac{7}{5}x}{3x - \frac{7}{5}x}=\frac{7}{4}x$，
$\therefore \frac{DM}{DN}=\frac{AM}{AN}=\frac{7x}{5}× \frac{4}{7x}=\frac{4}{5}$．
$\therefore ∠ A=∠ B=∠ C=60^{\circ}$，由折叠可知$△ AMN$与$△ DMN$关于$MN$对称，
$\therefore AM=DM$，$AN=DN$，$∠ A=∠ MDN=60^{\circ}$，
$\therefore ∠ BDM+∠ CDN=120^{\circ}$．
$\because ∠ BDM+∠ BMD=120^{\circ}$，$\therefore ∠ BMD=∠ CDN$．
$\because ∠ B=∠ C$，$\therefore △ BDM∽ △ CND$，
$\therefore \frac{BD}{CN}=\frac{BM}{CD}=\frac{DM}{ND}$．
$\because \frac{BD}{DC}=\frac{1}{2}$，设$BD=x$，$\therefore CD=2x$，
$\therefore BC=AB=AC=3x$，设$AM=DM=k$，$\therefore BM=3x - k$，
$\therefore \frac{x}{CN}=\frac{3x - k}{2x}$，$\therefore CN=\frac{2x^{2}}{3x - k}$，
$\therefore \frac{3x - k}{2x}=\frac{k}{DN}$，$\therefore DN=\frac{2xk}{3x - k}$．
$\because DN + CN=AN + CN=AC=3x$，
$\therefore \frac{2x^{2}}{3x - k}+\frac{2xk}{3x - k}=3x$，$\therefore k=\frac{7}{5}x$，
$\therefore DN=\frac{2x· \frac{7}{5}x}{3x - \frac{7}{5}x}=\frac{7}{4}x$，
$\therefore \frac{DM}{DN}=\frac{AM}{AN}=\frac{7x}{5}× \frac{4}{7x}=\frac{4}{5}$．
2. 【基础巩固】(1) 如图①，在 $ △ ABC $ 中，$ ∠ ACB = 90° $，$ AC = BC $，$ D $ 是 $ AB $ 边上一点，$ F $ 是 $ BC $ 边上一点，$ ∠ CDF = 45° $. 求证：$ AC · BF = AD · BD $；
【尝试应用】(2) 如图②，在四边形 $ ABFC $ 中，$ D $ 是 $ AB $ 边的中点，$ ∠ A = ∠ B = ∠ CDF = 45° $. 若 $ AC = 9 $，$ BF = 8 $，求线段 $ CF $ 的长；
【拓展提高】(3) 如图③，在 $ △ ABC $ 中，$ AB = 4\sqrt{2} $，$ ∠ B = 45° $，以 $ A $ 为直角顶点作等腰直角三角形 $ ADE $，点 $ D $ 在 $ BC $ 上，点 $ E $ 在 $ AC $ 上. 若 $ CE = 2\sqrt{5} $，求 $ CD $ 的长.
【尝试应用】(2) 如图②，在四边形 $ ABFC $ 中，$ D $ 是 $ AB $ 边的中点，$ ∠ A = ∠ B = ∠ CDF = 45° $. 若 $ AC = 9 $，$ BF = 8 $，求线段 $ CF $ 的长；
【拓展提高】(3) 如图③，在 $ △ ABC $ 中，$ AB = 4\sqrt{2} $，$ ∠ B = 45° $，以 $ A $ 为直角顶点作等腰直角三角形 $ ADE $，点 $ D $ 在 $ BC $ 上，点 $ E $ 在 $ AC $ 上. 若 $ CE = 2\sqrt{5} $，求 $ CD $ 的长.
答案：
2.
(1) 证明：$\because ∠ ACB=90^{\circ}$，$AC=BC$，$\therefore ∠ A=∠ B=45^{\circ}$．
$\because ∠ A+∠ ACD=∠ CDF+∠ BDF$，$∠ A=∠ CDF=45^{\circ}$，
$\therefore ∠ ACD=∠ BDF$，$\therefore △ ACD∽ △ BDF$，$\therefore \frac{AC}{BD}=\frac{AD}{BF}$，
$\therefore AC· BF=AD· BD$．
(2) 解：如答图①，延长$AC$交$BF$的延长线于点$T$．
$\because ∠ A=∠ CDF=∠ B=45^{\circ}$，
$\therefore ∠ T=90^{\circ}$，$TA=TB$．
$\because ∠ CDB=∠ A+∠ ACD=∠ CDF+∠ BDF$，
$\therefore ∠ ACD=∠ BDF$，$\therefore △ ACD∽ △ BDF$，$\therefore \frac{AC}{BD}=\frac{AD}{BF}$．
$\because AD=DB$，$\therefore \frac{9}{AD}=\frac{AD}{8}$，$\therefore AD=6\sqrt{2}$，
$\therefore AB=2AD=12\sqrt{2}$，$\therefore TA=TB=12$，
$\therefore CT=12 - 9=3$，$TF=12 - 8=4$，
$\therefore CF=\sqrt{CT^{2}+TF^{2}}=\sqrt{3^{2}+4^{2}}=5$．
(3) 解：如答图②，过点$E$作$EF$与$CD$交于点$F$，使$∠ EFD=45^{\circ}$，
$\because ∠ B=∠ ADE=45^{\circ}$，$\therefore ∠ BAD=∠ EDF$，
$\therefore △ ABD∽ △ DFE$，$\therefore \frac{AB}{DF}=\frac{AD}{DE}$．
$\because DE=\sqrt{2}AD$，$AB=4\sqrt{2}$，$\therefore DF=\sqrt{2}AB=8$．
$\because ∠ EFD=45^{\circ}$，$∠ AED=45^{\circ}$，
$\therefore ∠ EFC=∠ DEC=135^{\circ}$．
又$∠ C=∠ C$，$\therefore △ EFC∽ △ DEC$，$\therefore \frac{FC}{EC}=\frac{EC}{CD}$．
$\because EC=2\sqrt{5}$，$\therefore EC^{2}=FC· CD=FC· (8 + FC)$，
$\therefore 20=FC· (8 + FC)$，$\therefore FC=2$（负值舍去），
$\therefore CD=DF + FC=10$．
2.
(1) 证明：$\because ∠ ACB=90^{\circ}$，$AC=BC$，$\therefore ∠ A=∠ B=45^{\circ}$．
$\because ∠ A+∠ ACD=∠ CDF+∠ BDF$，$∠ A=∠ CDF=45^{\circ}$，
$\therefore ∠ ACD=∠ BDF$，$\therefore △ ACD∽ △ BDF$，$\therefore \frac{AC}{BD}=\frac{AD}{BF}$，
$\therefore AC· BF=AD· BD$．
(2) 解：如答图①，延长$AC$交$BF$的延长线于点$T$．
$\because ∠ A=∠ CDF=∠ B=45^{\circ}$，
$\therefore ∠ T=90^{\circ}$，$TA=TB$．
$\because ∠ CDB=∠ A+∠ ACD=∠ CDF+∠ BDF$，
$\therefore ∠ ACD=∠ BDF$，$\therefore △ ACD∽ △ BDF$，$\therefore \frac{AC}{BD}=\frac{AD}{BF}$．
$\because AD=DB$，$\therefore \frac{9}{AD}=\frac{AD}{8}$，$\therefore AD=6\sqrt{2}$，
$\therefore AB=2AD=12\sqrt{2}$，$\therefore TA=TB=12$，
$\therefore CT=12 - 9=3$，$TF=12 - 8=4$，
$\therefore CF=\sqrt{CT^{2}+TF^{2}}=\sqrt{3^{2}+4^{2}}=5$．
(3) 解：如答图②，过点$E$作$EF$与$CD$交于点$F$，使$∠ EFD=45^{\circ}$，
$\because ∠ B=∠ ADE=45^{\circ}$，$\therefore ∠ BAD=∠ EDF$，
$\therefore △ ABD∽ △ DFE$，$\therefore \frac{AB}{DF}=\frac{AD}{DE}$．
$\because DE=\sqrt{2}AD$，$AB=4\sqrt{2}$，$\therefore DF=\sqrt{2}AB=8$．
$\because ∠ EFD=45^{\circ}$，$∠ AED=45^{\circ}$，
$\therefore ∠ EFC=∠ DEC=135^{\circ}$．
又$∠ C=∠ C$，$\therefore △ EFC∽ △ DEC$，$\therefore \frac{FC}{EC}=\frac{EC}{CD}$．
$\because EC=2\sqrt{5}$，$\therefore EC^{2}=FC· CD=FC· (8 + FC)$，
$\therefore 20=FC· (8 + FC)$，$\therefore FC=2$（负值舍去），
$\therefore CD=DF + FC=10$．
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