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3. (2024·东海县一模)某商贸公司购进某种商品，经过市场调研，整理出这种商品在第$x(1≤ x≤ 48)$天的售价与日销售量的相关信息如下表：
已知这种商品的进价为20元/千克，设销售这种商品的日销售利润为$y$元。
(1)求$y$与$x$的函数表达式；
(2)第几天的销售利润最大？最大日销售利润为多少元？
(3)公司在销售的前28天中，每销售1千克这种商品就捐赠$n$元利润$(n＜9)$给“希望工程”，若每天扣除捐赠后的日销售利润随时间$x$的增大而增大，求$n$的取值范围。
已知这种商品的进价为20元/千克，设销售这种商品的日销售利润为$y$元。
(1)求$y$与$x$的函数表达式；
(2)第几天的销售利润最大？最大日销售利润为多少元？
(3)公司在销售的前28天中，每销售1千克这种商品就捐赠$n$元利润$(n＜9)$给“希望工程”，若每天扣除捐赠后的日销售利润随时间$x$的增大而增大，求$n$的取值范围。
答案：
3. 解：
(1) 由题意可知，当$1≤ x＜30$时，$y=(x + 30 - 20)(-2x + 120)=-2x^{2}+100x + 1200$。
当$30≤ x≤48$时，$y=(60 - 20)(-2x + 120)=-80x + 4800$，
$\therefore y=\begin{cases}-2x^{2}+100x + 1200(1≤ x＜30),\\-80x + 4800(30≤ x≤48).\end{cases}$
(2) 由
(1)可得，当$1≤ x＜30$时，$y=-2(x - 25)^{2}+2450$，
$\because -2＜0$，且$1≤ x＜30$，$\therefore$当$x = 25$时，$y_{\max}=2450$。
当$30≤ x≤48$时，$y=-80x + 4800$。
$\because k=-80＜0$，$\therefore y$随$x$的增大而减小，
$\therefore$当$x = 30$时，$y_{\max}=-80×30 + 4800 = 2400$。
$\because 2450＞2400$，$\therefore$第$25$天时销售利润最大，最大日销售利润为$2450$元。
(3) 设每天扣除捐赠后的日销售利润为$w$元，则$w=-2x^{2}+100x + 1200 - (-2x + 120)n=-2x^{2}+(100 + 2n)x + (1200 - 120n)$，
$\therefore$对称轴为直线$x=-\frac{100 + 2n}{2×(-2)}=\frac{50 + n}{2}$。
$\because w$随$x$的增大而增大，$x$为整数，
$\therefore\frac{50 + n}{2}＞27.5$，解得$n＞5$，$\therefore5＜ n＜9$。
(1) 由题意可知，当$1≤ x＜30$时，$y=(x + 30 - 20)(-2x + 120)=-2x^{2}+100x + 1200$。
当$30≤ x≤48$时，$y=(60 - 20)(-2x + 120)=-80x + 4800$，
$\therefore y=\begin{cases}-2x^{2}+100x + 1200(1≤ x＜30),\\-80x + 4800(30≤ x≤48).\end{cases}$
(2) 由
(1)可得，当$1≤ x＜30$时，$y=-2(x - 25)^{2}+2450$，
$\because -2＜0$，且$1≤ x＜30$，$\therefore$当$x = 25$时，$y_{\max}=2450$。
当$30≤ x≤48$时，$y=-80x + 4800$。
$\because k=-80＜0$，$\therefore y$随$x$的增大而减小，
$\therefore$当$x = 30$时，$y_{\max}=-80×30 + 4800 = 2400$。
$\because 2450＞2400$，$\therefore$第$25$天时销售利润最大，最大日销售利润为$2450$元。
(3) 设每天扣除捐赠后的日销售利润为$w$元，则$w=-2x^{2}+100x + 1200 - (-2x + 120)n=-2x^{2}+(100 + 2n)x + (1200 - 120n)$，
$\therefore$对称轴为直线$x=-\frac{100 + 2n}{2×(-2)}=\frac{50 + n}{2}$。
$\because w$随$x$的增大而增大，$x$为整数，
$\therefore\frac{50 + n}{2}＞27.5$，解得$n＞5$，$\therefore5＜ n＜9$。
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