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1. (2024·鼓楼区三模)如图，在矩形$ABCD$中，$AB = 6$，$AD = 8$，点$E$在$BC$上，$BE = 3$，作$∠ EAF = 45^{\circ}$，交$CD$于点$F$，则$DF$的长为(
A.$2$
B.$1$
C.$\dfrac{5}{3}$
D.$\dfrac{8}{3}$
D
)A.$2$
B.$1$
C.$\dfrac{5}{3}$
D.$\dfrac{8}{3}$
答案：
1.D 点拨:如答图，在BC,AD上分别截取BN,AM,使得BN=AM=AB,连接MN,交AF于点H,连接EH,延长CB至点G,使BG=MH,连接AG.
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC,AD=BC,∠CBA=∠BAD=90°.
∵BN=AM=AB,
∴四边形ABNM是正方形，
∴MN=AB=BN=6,∠AMH=90°.
∵AB=AM,∠ABG=∠AMH=90°,BG=MH,
∴△ABG≌△AMH(SAS),
∴∠BAG=∠MAH,AG=AH.
∵∠EAF=45°,
∴∠MAH+∠BAE=45°,
∴∠GAB+∠BAE=∠GAE=45°=∠EAH.
又
∵AG=AH,AE=AE,
∴△AEG≌△AEH(SAS),
∴EH=GE,
∴EH=3+MH.在Rt△HEN中,EH²=NH²+NE².
∵NE=BN−BE=6−3=3,
∴(3+MH)²=(6−MH)²+9,
∴MH=2.
∵MN//CD,
∴△AHM∽△AFD,
∴$\frac{AM}{AD}=\frac{MH}{DF}$,
∴$\frac{6}{8}=\frac{2}{DF}$,
∴DF=$\frac{8}{3}$.
1.D 点拨:如答图，在BC,AD上分别截取BN,AM,使得BN=AM=AB,连接MN,交AF于点H,连接EH,延长CB至点G,使BG=MH,连接AG.
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC,AD=BC,∠CBA=∠BAD=90°.
∵BN=AM=AB,
∴四边形ABNM是正方形，
∴MN=AB=BN=6,∠AMH=90°.
∵AB=AM,∠ABG=∠AMH=90°,BG=MH,
∴△ABG≌△AMH(SAS),
∴∠BAG=∠MAH,AG=AH.
∵∠EAF=45°,
∴∠MAH+∠BAE=45°,
∴∠GAB+∠BAE=∠GAE=45°=∠EAH.
又
∵AG=AH,AE=AE,
∴△AEG≌△AEH(SAS),
∴EH=GE,
∴EH=3+MH.在Rt△HEN中,EH²=NH²+NE².
∵NE=BN−BE=6−3=3,
∴(3+MH)²=(6−MH)²+9,
∴MH=2.
∵MN//CD,
∴△AHM∽△AFD,
∴$\frac{AM}{AD}=\frac{MH}{DF}$,
∴$\frac{6}{8}=\frac{2}{DF}$,
∴DF=$\frac{8}{3}$.
2. 阅读材料：
如图①，四边形$ABCD$是矩形，$△ AEF$是等腰直角三角形，记$∠ BAE$为$α$，$∠ FAD$为$β$，若$\tan α = \dfrac{1}{2}$，则$\tan β = \dfrac{1}{3}$.
证明：设$BE = k$，$\because \tan α = \dfrac{1}{2}$，$\therefore AB = 2k$，易证$△ AEB ≌ △ EFC(\mathrm{AAS})$.
$\therefore EC = 2k$，$CF = k$，$\therefore FD = k$，$AD = 3k$，$\therefore \tan β = \dfrac{DF}{AD} = \dfrac{k}{3k} = \dfrac{1}{3}$.
同理，若$α + β = 45^{\circ}$，则当$\tan α = \dfrac{1}{3}$时，$\tan β = \dfrac{1}{2}$.
根据上述材料，解答下列问题：
如图②，直线$y = 3x - 9$与反比例函数$y = \dfrac{m}{x}(x ＞ 0)$的图像交于点$A$，与$x$轴交于点$B$.将直线$AB$绕点$A$顺时针旋转$45^{\circ}$后的直线与$y$轴交于点$E$，过点$A$作$AM ⊥ x$轴于点$M$，$AN ⊥ y$轴于点$N$，已知$OA = 5$.
(1)求反比例函数的表达式；
(2)直接写出$\tan ∠ BAM$，$\tan ∠ NAE$的值；
(3)求直线$AE$的函数表达式.
如图①，四边形$ABCD$是矩形，$△ AEF$是等腰直角三角形，记$∠ BAE$为$α$，$∠ FAD$为$β$，若$\tan α = \dfrac{1}{2}$，则$\tan β = \dfrac{1}{3}$.
证明：设$BE = k$，$\because \tan α = \dfrac{1}{2}$，$\therefore AB = 2k$，易证$△ AEB ≌ △ EFC(\mathrm{AAS})$.
$\therefore EC = 2k$，$CF = k$，$\therefore FD = k$，$AD = 3k$，$\therefore \tan β = \dfrac{DF}{AD} = \dfrac{k}{3k} = \dfrac{1}{3}$.
同理，若$α + β = 45^{\circ}$，则当$\tan α = \dfrac{1}{3}$时，$\tan β = \dfrac{1}{2}$.
根据上述材料，解答下列问题：
如图②，直线$y = 3x - 9$与反比例函数$y = \dfrac{m}{x}(x ＞ 0)$的图像交于点$A$，与$x$轴交于点$B$.将直线$AB$绕点$A$顺时针旋转$45^{\circ}$后的直线与$y$轴交于点$E$，过点$A$作$AM ⊥ x$轴于点$M$，$AN ⊥ y$轴于点$N$，已知$OA = 5$.
(1)求反比例函数的表达式；
(2)直接写出$\tan ∠ BAM$，$\tan ∠ NAE$的值；
(3)求直线$AE$的函数表达式.
答案：
2.解:
(1)设A(t,3t−9),
∴OM=t,AM=3t−9,
∵OA=5,
∴t²+(3t−9)²=5²,解得t=4或t=1.4,
∴点A的坐标为(4,3)或(1.4,−4.8)(此时点A在第四象限，不符合题意，舍去).
把A(4,3)代入$y=\frac{m}{x}$(x＞0),得$3=\frac{m}{4}$,
解得m=12,
∴反比例函数的表达式为$y=\frac{12}{x}$(x＞0).
(2)在y=3x−9中,令y=0,得0=3x−9,
解得x=3,
∴B(3,0),
∴OB=3,
由
(1)知A(4,3),
∴OM=4,AM=3,
∴BM=OM−OB=4−3=1,
∴$\tan∠ BAM=\frac{BM}{AM}=\frac{1}{3}$.
∵∠ANO=∠NOM=∠OMA=90°,
∴∠MAN=90°.
∵∠BAE=45°,
∴∠BAM+∠NAE=45°,
由若$α+β=45^{\circ}$,则当$\tanα=\frac{1}{3}$时,$\tanβ=\frac{1}{2}$,
可得$\tan∠ NAE=\frac{1}{2}$.
(3)由
(2)知$\tan∠ NAE=\frac{1}{2}$,
∴$\frac{NE}{AN}=\frac{1}{2}$.
∵A(4,3),
∴AN=4,ON=3,
∴$\frac{NE}{4}=\frac{1}{2}$,
∴NE=2,
∴OE=ON−NE=3−2=1,
∴E(0,1).
设直线AE的函数表达式为y=ax+b,
把A(4,3),E(0,1)代入,得$\begin{cases}4a+b=3,\\b=1,\end{cases}$
解得$\begin{cases}a=\frac{1}{2},\\b=1,\end{cases}$
∴直线AE的函数表达式为$y=\frac{1}{2}x+1$.
(1)设A(t,3t−9),
∴OM=t,AM=3t−9,
∵OA=5,
∴t²+(3t−9)²=5²,解得t=4或t=1.4,
∴点A的坐标为(4,3)或(1.4,−4.8)(此时点A在第四象限，不符合题意，舍去).
把A(4,3)代入$y=\frac{m}{x}$(x＞0),得$3=\frac{m}{4}$,
解得m=12,
∴反比例函数的表达式为$y=\frac{12}{x}$(x＞0).
(2)在y=3x−9中,令y=0,得0=3x−9,
解得x=3,
∴B(3,0),
∴OB=3,
由
(1)知A(4,3),
∴OM=4,AM=3,
∴BM=OM−OB=4−3=1,
∴$\tan∠ BAM=\frac{BM}{AM}=\frac{1}{3}$.
∵∠ANO=∠NOM=∠OMA=90°,
∴∠MAN=90°.
∵∠BAE=45°,
∴∠BAM+∠NAE=45°,
由若$α+β=45^{\circ}$,则当$\tanα=\frac{1}{3}$时,$\tanβ=\frac{1}{2}$,
可得$\tan∠ NAE=\frac{1}{2}$.
(3)由
(2)知$\tan∠ NAE=\frac{1}{2}$,
∴$\frac{NE}{AN}=\frac{1}{2}$.
∵A(4,3),
∴AN=4,ON=3,
∴$\frac{NE}{4}=\frac{1}{2}$,
∴NE=2,
∴OE=ON−NE=3−2=1,
∴E(0,1).
设直线AE的函数表达式为y=ax+b,
把A(4,3),E(0,1)代入,得$\begin{cases}4a+b=3,\\b=1,\end{cases}$
解得$\begin{cases}a=\frac{1}{2},\\b=1,\end{cases}$
∴直线AE的函数表达式为$y=\frac{1}{2}x+1$.
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