搜索
1.(2024·徐州模拟)如图,抛物线$y=x^{2}-2x+k$与x轴交于A,B两点,与y轴交于点$C(0,-3)$.若抛物线$y=x^{2}-2x+k$上有点Q,使$△ BCQ$是以BC为直角边的直角三角形,则点Q的坐标为
$(1,-4)$或$(-2,5)$
.
答案：
1. $(1,-4)$或$(-2,5)$
2.(2024·睢宁县模拟)如图,直线$y=-\sqrt{3}x+2\sqrt{3}$与x轴,y轴分别交于点A,B,两动点D,E分别从点A,B同时出发向点O运动(运动到点O停止),运动速度分别是1个单位长度/秒和$\sqrt{3}$个单位长度/秒,设运动时间为t秒.以A为顶点的抛物线经过点E,过点E作x轴的平行线,与抛物线的另一个交点为G,与AB相交于点F.
(1)求点A,B的坐标;
(2)用含t的代数式分别表示EF和AF的长;
(3)是否存在t的值,使$△ AGF$是直角三角形? 若存在,求出此时抛物线的函数表达式;若不存在,请说明理由.
(1)求点A,B的坐标;
(2)用含t的代数式分别表示EF和AF的长;
(3)是否存在t的值,使$△ AGF$是直角三角形? 若存在,求出此时抛物线的函数表达式;若不存在,请说明理由.
答案：
2. 解:
(1) 在直线$y=-\sqrt{3}x+2\sqrt{3}$中, 令$y=0$, 得$-\sqrt{3}x+2\sqrt{3}=0$, 解得$x=2$, 令$x=0$, 得$y=2\sqrt{3}$,$\therefore A(2,0)$,$B(0,2\sqrt{3})$.
(2) 由
(1)可知$OA=2$,$OB=2\sqrt{3}$,$\therefore \tan∠ ABO=\frac{OA}{OB}=\frac{\sqrt{3}}{3}$,$\therefore ∠ ABO=30^{\circ}$.
$\because$ 运动时间为$t$秒,$\therefore BE=\sqrt{3}t$.
$\because EF// x$轴,$\therefore$ 在$Rt△ BEF$中,$EF=BE·\tan∠ ABO=\frac{\sqrt{3}}{3}BE=t$,$BF=2EF=2t$.
在$Rt△ ABO$中,$OA=2$,$OB=2\sqrt{3}$,$\therefore AB=4$,$\therefore AF=AB-BF=4-2t$.
(3) 存在.$\because EG// x$轴,$\therefore ∠ FGA=∠ BAO=60^{\circ}$.
$\because$ 点$G$不能在抛物线的对称轴上,$\therefore ∠ FGA≠ 90^{\circ}$,$\therefore$ 当$△ AGF$为直角三角形时, 则有$∠ FAG=90^{\circ}$, 又$∠ FGA=30^{\circ}$,$\therefore FG=2AF$.
$\because EF=t$,$EG=4$,$\therefore FG=4-t$, 且$AF=4-2t$,$\therefore 4-t=2(4-2t)$, 解得$t=\frac{4}{3}$, 即当$t$的值为$\frac{4}{3}$时,$△ AGF$为直角三角形, 此时$OE=OB-BE=2\sqrt{3}-\sqrt{3}t=2\sqrt{3}-\sqrt{3}×\frac{4}{3}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$,$\therefore$ 点$E$的坐标为$(0,\frac{2\sqrt{3}}{3})$.
$\because$ 抛物线的顶点为$A$,$\therefore$ 可设抛物线的函数表达式为$y=a(x-2)^2$, 把点$E$的坐标代入, 得$\frac{2\sqrt{3}}{3}=4a$, 解得$a=\frac{\sqrt{3}}{6}$,
$\therefore$ 抛物线的函数表达式为$y=\frac{\sqrt{3}}{6}(x-2)^2$, 即$y=\frac{\sqrt{3}}{6}x^2-\frac{2\sqrt{3}}{3}x+\frac{2\sqrt{3}}{3}$.
(1) 在直线$y=-\sqrt{3}x+2\sqrt{3}$中, 令$y=0$, 得$-\sqrt{3}x+2\sqrt{3}=0$, 解得$x=2$, 令$x=0$, 得$y=2\sqrt{3}$,$\therefore A(2,0)$,$B(0,2\sqrt{3})$.
(2) 由
(1)可知$OA=2$,$OB=2\sqrt{3}$,$\therefore \tan∠ ABO=\frac{OA}{OB}=\frac{\sqrt{3}}{3}$,$\therefore ∠ ABO=30^{\circ}$.
$\because$ 运动时间为$t$秒,$\therefore BE=\sqrt{3}t$.
$\because EF// x$轴,$\therefore$ 在$Rt△ BEF$中,$EF=BE·\tan∠ ABO=\frac{\sqrt{3}}{3}BE=t$,$BF=2EF=2t$.
在$Rt△ ABO$中,$OA=2$,$OB=2\sqrt{3}$,$\therefore AB=4$,$\therefore AF=AB-BF=4-2t$.
(3) 存在.$\because EG// x$轴,$\therefore ∠ FGA=∠ BAO=60^{\circ}$.
$\because$ 点$G$不能在抛物线的对称轴上,$\therefore ∠ FGA≠ 90^{\circ}$,$\therefore$ 当$△ AGF$为直角三角形时, 则有$∠ FAG=90^{\circ}$, 又$∠ FGA=30^{\circ}$,$\therefore FG=2AF$.
$\because EF=t$,$EG=4$,$\therefore FG=4-t$, 且$AF=4-2t$,$\therefore 4-t=2(4-2t)$, 解得$t=\frac{4}{3}$, 即当$t$的值为$\frac{4}{3}$时,$△ AGF$为直角三角形, 此时$OE=OB-BE=2\sqrt{3}-\sqrt{3}t=2\sqrt{3}-\sqrt{3}×\frac{4}{3}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$,$\therefore$ 点$E$的坐标为$(0,\frac{2\sqrt{3}}{3})$.
$\because$ 抛物线的顶点为$A$,$\therefore$ 可设抛物线的函数表达式为$y=a(x-2)^2$, 把点$E$的坐标代入, 得$\frac{2\sqrt{3}}{3}=4a$, 解得$a=\frac{\sqrt{3}}{6}$,
$\therefore$ 抛物线的函数表达式为$y=\frac{\sqrt{3}}{6}(x-2)^2$, 即$y=\frac{\sqrt{3}}{6}x^2-\frac{2\sqrt{3}}{3}x+\frac{2\sqrt{3}}{3}$.
查看更多完整答案，请扫码查看
