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1. 已知 $ y = x^{2} - 4x + 3 $，当 $ m ≤ x ≤ m + 2 $ 时，函数 $ y $ 的最小值为 $ \frac{5}{4} $，则 $ m $ 的值为
$-\frac{3}{2}$或$\frac{7}{2}$
。
答案：
1. $-\frac{3}{2}$或$\frac{7}{2}$ 点拨：
∵二次函数$y = x^{2}-4x + 3=(x - 2)^{2}-1$，
∴对称轴为直线$x = 2$，当$x = 2$时，取得最小值为$-1$，
①当$m + 2＜2$，即$m＜0$，$x = m + 2$时，最小值是$\frac{5}{4}$，
∴$(m + 2 - 2)^{2}-1 = m^{2}-1=\frac{5}{4}$，
∴$m = -\frac{3}{2}$或$m=\frac{3}{2}$（舍去），
②当$m＞2$，$x = m$时，取得最小值$\frac{5}{4}$，
∴$(m - 2)^{2}-1=\frac{5}{4}$，
∴$m=\frac{7}{2}$或$m=\frac{1}{2}$（舍去）．
综上所述，$m = -\frac{3}{2}$或$m=\frac{7}{2}$．
∵二次函数$y = x^{2}-4x + 3=(x - 2)^{2}-1$，
∴对称轴为直线$x = 2$，当$x = 2$时，取得最小值为$-1$，
①当$m + 2＜2$，即$m＜0$，$x = m + 2$时，最小值是$\frac{5}{4}$，
∴$(m + 2 - 2)^{2}-1 = m^{2}-1=\frac{5}{4}$，
∴$m = -\frac{3}{2}$或$m=\frac{3}{2}$（舍去），
②当$m＞2$，$x = m$时，取得最小值$\frac{5}{4}$，
∴$(m - 2)^{2}-1=\frac{5}{4}$，
∴$m=\frac{7}{2}$或$m=\frac{1}{2}$（舍去）．
综上所述，$m = -\frac{3}{2}$或$m=\frac{7}{2}$．
2. 已知二次函数 $ y = -(x - h)^{2} $（$ h $ 是常数），且 $ -2 ≤ x ≤ 3 $。
(1) 当 $ h = -1 $ 时，求函数的最大值；
(2) 若函数的最大值为 $ -1 $，求 $ h $ 的值。
(1) 当 $ h = -1 $ 时，求函数的最大值；
(2) 若函数的最大值为 $ -1 $，求 $ h $ 的值。
答案：
2. 解：（1）当$h = -1$时，$y = -(x + 1)^{2}$，顶点坐标为$(-1,0)$．
∵$-2≤ x≤3$，
∴当$x = -1$时，$y$的值最大，最大值为$0$．
（2）
∵二次函数$y = -(x - h)^{2}$（$h$为常数），当自变量$x$满足$-2≤ x≤3$时，其对应函数$y$的最大值为$-1$，
∴若$h≥3$，则当$x = 3$时，$y$最大，即$-(3 - h)^{2}=-1$，
解得$h_{1}=2$（舍去），$h_{2}=4$；
若$h≤-2$，则当$x = -2$时，$y$最大，
即$-(-2 - h)^{2}=-1$，解得$h_{3}=-1$（舍去），$h_{4}=-3$；
若$-2＜ h＜3$，则最大值为$0$，与题意不符．
综上可知，$h$的值是$4$或$-3$．
∵$-2≤ x≤3$，
∴当$x = -1$时，$y$的值最大，最大值为$0$．
（2）
∵二次函数$y = -(x - h)^{2}$（$h$为常数），当自变量$x$满足$-2≤ x≤3$时，其对应函数$y$的最大值为$-1$，
∴若$h≥3$，则当$x = 3$时，$y$最大，即$-(3 - h)^{2}=-1$，
解得$h_{1}=2$（舍去），$h_{2}=4$；
若$h≤-2$，则当$x = -2$时，$y$最大，
即$-(-2 - h)^{2}=-1$，解得$h_{3}=-1$（舍去），$h_{4}=-3$；
若$-2＜ h＜3$，则最大值为$0$，与题意不符．
综上可知，$h$的值是$4$或$-3$．
3. 已知二次函数 $ y = x^{2} + bx + c $。
(1) 当 $ b = 1 $ 时，若存在实数 $ x_{0} $，使得当 $ x = x_{0} $ 时，$ y ≤ 1 $ 成立，求 $ c $ 的最大值；
(2) 当 $ b = -2m(m ＞ 0) $，$ c = 0 $ 时，函数在 $ t ≤ x ≤ t + 2 $ 上的最大值为 $ 0 $，最小值为 $ -4 $，求 $ m $ 和 $ t $ 的值。
(1) 当 $ b = 1 $ 时，若存在实数 $ x_{0} $，使得当 $ x = x_{0} $ 时，$ y ≤ 1 $ 成立，求 $ c $ 的最大值；
(2) 当 $ b = -2m(m ＞ 0) $，$ c = 0 $ 时，函数在 $ t ≤ x ≤ t + 2 $ 上的最大值为 $ 0 $，最小值为 $ -4 $，求 $ m $ 和 $ t $ 的值。
答案：
3. 解：（1）
∵$b = 1$，
∴$y = x^{2}+x + c$．
∵存在实数$x_{0}$，使$x = x_{0}$时，$y≤1$成立，
∴函数$y = x^{2}+x + c$的最小值小于或等于$1$，即$\frac{4c - 1}{4}≤1$，
∴$c≤\frac{5}{4}$，
∴$c$的最大值为$\frac{5}{4}$．
（2）
∵$b = -2m$，$c = 0$，
∴$y = x^{2}-2mx=(x - m)^{2}-m^{2}$，
此时二次函数图像的对称轴为直线$x = m$．
∵函数在$t≤ x≤ t + 2$上的最大值为$0$，最小值为$-4$，
∴当$t≤ m≤ t + 2$，$x = m$时，函数值最小，此时$-m^{2}=-4$，
解得$m = 2$或$m = -2$（舍去），
当$m = 2$时，$y = x^{2}-4x$，
若$t + 2 - 2＞2 - t$，即$t＞1$，则$x = t + 2$时，函数值最大，
∴$(t + 2)^{2}-4(t + 2)=0$，解得$t = -2$（舍去）或$t = 2$．
若$t + 2 - 2＜2 - t$，即$t＜1$，则$x = t$时，函数值最大，
∴$t^{2}-4t = 0$，解得$t = 4$（舍去）或$t = 0$．
当$m＜ t$，$x = t$时，函数值最小，当$x = t + 2$时，函数值最大，
∴$\begin{cases}(t + 2)^{2}-2m(t + 2)=0,\\t^{2}-2mt=-4,\end{cases}$
解得$\begin{cases}t = 2,\\m = 2\end{cases}$（舍去）或$\begin{cases}t = -2,\\m = -2\end{cases}$（舍去）；
当$m＞ t + 2$时，$x = t$时，函数值最大，$x = t + 2$时，函数值最小，
∴$\begin{cases}(t + 2)^{2}-2m(t + 2)=-4,\\t^{2}-2mt=0,\end{cases}$
解得$\begin{cases}t = 0,\\m = 2\end{cases}$（舍去）或$\begin{cases}t = -4,\\m = -2\end{cases}$（舍去）．
综上所述，$m$的值为$2$，$t$的值为$0$或$2$．
∵$b = 1$，
∴$y = x^{2}+x + c$．
∵存在实数$x_{0}$，使$x = x_{0}$时，$y≤1$成立，
∴函数$y = x^{2}+x + c$的最小值小于或等于$1$，即$\frac{4c - 1}{4}≤1$，
∴$c≤\frac{5}{4}$，
∴$c$的最大值为$\frac{5}{4}$．
（2）
∵$b = -2m$，$c = 0$，
∴$y = x^{2}-2mx=(x - m)^{2}-m^{2}$，
此时二次函数图像的对称轴为直线$x = m$．
∵函数在$t≤ x≤ t + 2$上的最大值为$0$，最小值为$-4$，
∴当$t≤ m≤ t + 2$，$x = m$时，函数值最小，此时$-m^{2}=-4$，
解得$m = 2$或$m = -2$（舍去），
当$m = 2$时，$y = x^{2}-4x$，
若$t + 2 - 2＞2 - t$，即$t＞1$，则$x = t + 2$时，函数值最大，
∴$(t + 2)^{2}-4(t + 2)=0$，解得$t = -2$（舍去）或$t = 2$．
若$t + 2 - 2＜2 - t$，即$t＜1$，则$x = t$时，函数值最大，
∴$t^{2}-4t = 0$，解得$t = 4$（舍去）或$t = 0$．
当$m＜ t$，$x = t$时，函数值最小，当$x = t + 2$时，函数值最大，
∴$\begin{cases}(t + 2)^{2}-2m(t + 2)=0,\\t^{2}-2mt=-4,\end{cases}$
解得$\begin{cases}t = 2,\\m = 2\end{cases}$（舍去）或$\begin{cases}t = -2,\\m = -2\end{cases}$（舍去）；
当$m＞ t + 2$时，$x = t$时，函数值最大，$x = t + 2$时，函数值最小，
∴$\begin{cases}(t + 2)^{2}-2m(t + 2)=-4,\\t^{2}-2mt=0,\end{cases}$
解得$\begin{cases}t = 0,\\m = 2\end{cases}$（舍去）或$\begin{cases}t = -4,\\m = -2\end{cases}$（舍去）．
综上所述，$m$的值为$2$，$t$的值为$0$或$2$．
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