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1. (2024·兰州期末)若α为锐角，且$\tan(α + 15^{\circ}) = 1$，则$\cosα$的值为
$\frac{\sqrt{3}}{2}$
。
答案：
1.$\frac{\sqrt{3}}{2}$
2. 对于钝角α，定义它的三角函数值如下：
$\sinα = \sin(180^{\circ} - α)$，$\cosα = -\cos(180^{\circ} - α)$。
(1)求$\sin120^{\circ}$，$\cos120^{\circ}$，$\sin150^{\circ}$的值；
(2)若一个三角形的三个内角的比是$1:1:4$，A，B 是这个三角形的两个顶点，$\sin A$，$\cos B$是方程$4x^{2} - mx - 1 = 0$的两个不相等的实数根，求 m 的值及$∠A$和$∠B$的度数。
$\sinα = \sin(180^{\circ} - α)$，$\cosα = -\cos(180^{\circ} - α)$。
(1)求$\sin120^{\circ}$，$\cos120^{\circ}$，$\sin150^{\circ}$的值；
(2)若一个三角形的三个内角的比是$1:1:4$，A，B 是这个三角形的两个顶点，$\sin A$，$\cos B$是方程$4x^{2} - mx - 1 = 0$的两个不相等的实数根，求 m 的值及$∠A$和$∠B$的度数。
答案：
2.解:
(1)由题意，得
$\sin120^{\circ}=\sin(180^{\circ}-120^{\circ})=\sin60^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}$
$\cos120^{\circ}=-\cos(180^{\circ}-120^{\circ})=-\cos60^{\circ}=-\frac{1}{2}$
$\sin150^{\circ}=\sin(180^{\circ}-150^{\circ})=\sin30^{\circ}=\frac{1}{2}$
(2)
∵三角形的三个内角的比是1:1:4，
∴三个内角分别为$30^{\circ},30^{\circ},120^{\circ}$。
∵$\sin A,\cos B$是方程$4x^{2}-mx - 1 = 0$的两个不相等的实数根，
∴$\sin A+\cos B=\frac{m}{4}$，$\sin A·\cos B=-\frac{1}{4}$
∴$\cos B＜0$，
∴$∠B = 120^{\circ}$，
∴$∠A = 30^{\circ}$
∴$m = 4(\sin A+\cos B)=0$
(1)由题意，得
$\sin120^{\circ}=\sin(180^{\circ}-120^{\circ})=\sin60^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}$
$\cos120^{\circ}=-\cos(180^{\circ}-120^{\circ})=-\cos60^{\circ}=-\frac{1}{2}$
$\sin150^{\circ}=\sin(180^{\circ}-150^{\circ})=\sin30^{\circ}=\frac{1}{2}$
(2)
∵三角形的三个内角的比是1:1:4，
∴三个内角分别为$30^{\circ},30^{\circ},120^{\circ}$。
∵$\sin A,\cos B$是方程$4x^{2}-mx - 1 = 0$的两个不相等的实数根，
∴$\sin A+\cos B=\frac{m}{4}$，$\sin A·\cos B=-\frac{1}{4}$
∴$\cos B＜0$，
∴$∠B = 120^{\circ}$，
∴$∠A = 30^{\circ}$
∴$m = 4(\sin A+\cos B)=0$
3. 【结论探究】如图①，在$△ ABC$中，$∠A = α$，$∠B = 30^{\circ}$，$AC = 1$。
求证：$2\sin(30^{\circ} + α) = \sqrt{3}\sinα + \cosα$。
【问题解决】如图②，将两块分别含有$45^{\circ}$角和$30^{\circ}$角的直角三角尺摆放在同一平面内，$∠BAD = ∠BCD = 90^{\circ}$，$∠ABD = 45^{\circ}$，$∠BDC = 60^{\circ}$，$BD = 8\sqrt{2}$，连接 AC。利用【结论探究】中的结论求$S_{△ ABC}$。
求证：$2\sin(30^{\circ} + α) = \sqrt{3}\sinα + \cosα$。
【问题解决】如图②，将两块分别含有$45^{\circ}$角和$30^{\circ}$角的直角三角尺摆放在同一平面内，$∠BAD = ∠BCD = 90^{\circ}$，$∠ABD = 45^{\circ}$，$∠BDC = 60^{\circ}$，$BD = 8\sqrt{2}$，连接 AC。利用【结论探究】中的结论求$S_{△ ABC}$。
答案：
3.【结论探究】证明:如答图①,过点$A$作$AM⊥ BC$交$BC$的延长线于点$M$,过点$C$作$CH⊥ AB$于点$H$。在$\mathrm{Rt}△ ACM$中,
$AM = AC·\sin∠ ACM = 1×\sin(α + 30^{\circ})=\sin(α + 30^{\circ})$。在$\mathrm{Rt}△ ABM$中,$∠B = 30^{\circ}$,则$AB = 2AM = 2\sin(α + 30^{\circ})$。
在$\mathrm{Rt}△ AHC$中,$CH = AC·\sinα=\sinα$，$AH = AC·\cosα=\cosα$，则$BH=\frac{CH}{\tan30^{\circ}}=\sqrt{3}\sinα$
∴$AB = BH + AH=\sqrt{3}\sinα+\cosα = 2\sin(α + 30^{\circ})$
即$2\sin(30^{\circ}+α)=\sqrt{3}\sinα+\cosα$
【问题解决】解:如答图②,过点$A$作$AR⊥ BC$于点$R$。
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中,
∵$BD = 8\sqrt{2}$，$∠ABD = 45^{\circ}$，
∴$AB = AD = 8$。在$\mathrm{Rt}△ BCD$中,
∵$∠BDC = 60^{\circ}$，
∴$∠CBD = 30^{\circ}$
∴$BC = BD·\cos30^{\circ}=8\sqrt{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}=4\sqrt{6}$
由【结论探究】知,$2\sin(30^{\circ}+45^{\circ})=\sqrt{3}\sin45^{\circ}+\cos45^{\circ}$
则$\sin75^{\circ}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$
在$\mathrm{Rt}△ ABR$中,
∵$∠ABR = ∠ABD + ∠CBD = 45^{\circ}+30^{\circ}=75^{\circ}$
∴$AR = AB·\sin∠ ABC = AB·\sin75^{\circ}=8×\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}=2\sqrt{6}+2\sqrt{2}$
∴$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}BC· AR=\frac{1}{2}×4\sqrt{6}×(2\sqrt{6}+2\sqrt{2})=24 + 8\sqrt{3}$
3.【结论探究】证明:如答图①,过点$A$作$AM⊥ BC$交$BC$的延长线于点$M$,过点$C$作$CH⊥ AB$于点$H$。在$\mathrm{Rt}△ ACM$中,
$AM = AC·\sin∠ ACM = 1×\sin(α + 30^{\circ})=\sin(α + 30^{\circ})$。在$\mathrm{Rt}△ ABM$中,$∠B = 30^{\circ}$,则$AB = 2AM = 2\sin(α + 30^{\circ})$。
在$\mathrm{Rt}△ AHC$中,$CH = AC·\sinα=\sinα$，$AH = AC·\cosα=\cosα$，则$BH=\frac{CH}{\tan30^{\circ}}=\sqrt{3}\sinα$
∴$AB = BH + AH=\sqrt{3}\sinα+\cosα = 2\sin(α + 30^{\circ})$
即$2\sin(30^{\circ}+α)=\sqrt{3}\sinα+\cosα$
【问题解决】解:如答图②,过点$A$作$AR⊥ BC$于点$R$。
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中,
∵$BD = 8\sqrt{2}$，$∠ABD = 45^{\circ}$，
∴$AB = AD = 8$。在$\mathrm{Rt}△ BCD$中,
∵$∠BDC = 60^{\circ}$，
∴$∠CBD = 30^{\circ}$
∴$BC = BD·\cos30^{\circ}=8\sqrt{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}=4\sqrt{6}$
由【结论探究】知,$2\sin(30^{\circ}+45^{\circ})=\sqrt{3}\sin45^{\circ}+\cos45^{\circ}$
则$\sin75^{\circ}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$
在$\mathrm{Rt}△ ABR$中,
∵$∠ABR = ∠ABD + ∠CBD = 45^{\circ}+30^{\circ}=75^{\circ}$
∴$AR = AB·\sin∠ ABC = AB·\sin75^{\circ}=8×\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}=2\sqrt{6}+2\sqrt{2}$
∴$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}BC· AR=\frac{1}{2}×4\sqrt{6}×(2\sqrt{6}+2\sqrt{2})=24 + 8\sqrt{3}$
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