《2026年启东中学作业本九年级数学下册苏科版徐州专版》

1. 如图，在$△ ABC$中，若$∠ A - ∠ C = 90^{\circ}$，$AB = 1$，$BC = 3$，则$AC$的长为(A)

A.$\frac{4}{5}\sqrt{10}$
B.$\frac{3}{5}\sqrt{10}$
C.$\frac{5}{3}\sqrt{2}$
D.$\frac{5}{4}\sqrt{5}$

答案： 1. A

2. 在$△ ABC$中，$∠ A$，$∠ C$是锐角，若$AB = 2$，且$\tan C = 2\tan A$，则$△ ABC$面积的最大值是(A)

A.$\frac{3}{2}$
B.$4\sqrt{2}$
C.$6$
D.$8$

答案：
2. A 点拨:如答图,过点B作BD⊥AC于点D,

∴tanC=$\frac{BD}{CD}$,tanA=$\frac{BD}{AD}$.
∵tanC=2tanA,
∴AD=2CD.
∵AB=2,
∴AD²+BD²=4,设BD=h,CD=a,
则AD=2a.
在Rt△ABD中,h²+4a²=4,
∴h²=4−4a².
∵a²·h²=a²(4−4a²)=4a²−4a⁴=4[$\frac{1}{4}$−(a²−$\frac{1}{2}$)²],当a²=$\frac{1}{2}$时,a²h²取得最大值为1,
∴a²h²≤1,
∴0＜ah≤1.
∵S$_{△ ABC}$=$\frac{1}{2}$AC·BD=$\frac{1}{2}$·3a·h=$\frac{3}{2}$ah,
∴△ABC面积的最大值是$\frac{3}{2}$.

3. 如图，在$△ ABC$中，$CD$是边$AB$上的中线，$∠ B$是锐角，且$\sin B = \frac{\sqrt{2}}{2}$，$\tan A = \frac{1}{2}$，$AC = 3\sqrt{5}$.
求：（1）$∠ B$的度数与$AB$的长；
（2）$\tan ∠ CDB$的值.

答案：
3. 解:
(1)如答图,作CE⊥AB于点E,设CE=x,
在Rt△ACE中,
∵tanA=$\frac{CE}{AE}$=$\frac{1}{2}$,
∴AE=2x,
∴AC=$\sqrt{x²+(2x)²}$=$\sqrt{5}$x,
∴$\sqrt{5}$x=3$\sqrt{5}$,解得x=3,
∴CE=3,AE=6.
在Rt△BCE中,
∵sinB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$,
∴∠B=45°,
∴△BCE为等腰直角三角形,
∴BE=CE=3,
∴AB=AE+BE=6+3=9.
(2)
∵CD为中线,
∴BD=$\frac{1}{2}$AB=4.5,
∴DE=BD−BE=4.5−3=1.5,
∴tan∠CDE=$\frac{CE}{DE}$=$\frac{3}{1.5}$=2,即tan∠CDB的值为2.