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1. 某商品每件的进价为 20 元，在试销阶段该商品的日销售量 $ y $(件)与每件商品的售价 $ x $(元)之间的关系为 $ y=\begin{cases}-10x + 400(20≤ x≤ 30),\\-4x + 220(30＜ x≤ 45)\end{cases}$(物价局规定该商品每件的售价不得低于进价且不得高于 45 元). 若售价 $ x $(元)为整数，则当 $ x $ 的值为 ______ 时，该商品每天的销售利润最大，最大利润是 ______ 元.
答案：
1. 37 或 38 1224 点拨：设日销售利润为 w 元，
当 $ 20 ≤ x ≤ 30 $ 时，$ w = (x - 20)(-10x + 400) = -10x^{2} + 600x - 8000 = -10(x - 30)^{2} + 1000 $，
∴当 $ x = 30 $ 时，w 取得最大值，最大值为 1000；
当 $ 30 ＜ x ≤ 45 $ 时，$ w = (x - 20)(-4x + 220) = -4x^{2} + 300x - 4400 = -4(x - 37.5)^{2} + 1225 $，
∵x 为整数，
∴当 $ x = 37 $ 或 $ x = 38 $ 时，w 取得最大值，最大值为 $ -4 × \frac{1}{4} + 1225 = 1224 $。
∵$ 1000 ＜ 1224 $，
∴当 x 的值为 37 或 38 时，该商品每天的销售利润最大，最大利润是 1224 元。
当 $ 20 ≤ x ≤ 30 $ 时，$ w = (x - 20)(-10x + 400) = -10x^{2} + 600x - 8000 = -10(x - 30)^{2} + 1000 $，
∴当 $ x = 30 $ 时，w 取得最大值，最大值为 1000；
当 $ 30 ＜ x ≤ 45 $ 时，$ w = (x - 20)(-4x + 220) = -4x^{2} + 300x - 4400 = -4(x - 37.5)^{2} + 1225 $，
∵x 为整数，
∴当 $ x = 37 $ 或 $ x = 38 $ 时，w 取得最大值，最大值为 $ -4 × \frac{1}{4} + 1225 = 1224 $。
∵$ 1000 ＜ 1224 $，
∴当 x 的值为 37 或 38 时，该商品每天的销售利润最大，最大利润是 1224 元。
2.（2024·大丰区三模）“城市发展，交通先行”，某市启动了缓堵保畅的快速路建设工程，建成后将大大提升道路的通行能力. 研究表明，在确保安全行车的情况下，快速路的车流速度 $ v $（千米/时）是车流密度 $ x $（辆/千米）的函数，其图像近似地如图所示.
（1）求 $ v $ 关于 $ x $ 的函数表达式；
（2）求车流量 $ p $ 和车流密度 $ x $ 之间的函数表达式并求出车流量 $ p $（辆/时）的最大值；
（注：车流量是单位时间内通过观测点的车辆数，计算公式为：车流量 $ = $ 车流速度 $ × $ 车流密度）
（3）经过测算，每日上下班高峰时段快速路车流量将不低于 4400 辆/时，为保证快速路安全畅通，城市道路交通指挥中心将实时发布道路预警信息，提醒驾驶员按预警速度要求行驶，请你帮助城市交通指挥中心测算一下上下班高峰时段，车速应控制在什么范围才能确保快速路安全畅通？
（1）求 $ v $ 关于 $ x $ 的函数表达式；
（2）求车流量 $ p $ 和车流密度 $ x $ 之间的函数表达式并求出车流量 $ p $（辆/时）的最大值；
（注：车流量是单位时间内通过观测点的车辆数，计算公式为：车流量 $ = $ 车流速度 $ × $ 车流密度）
（3）经过测算，每日上下班高峰时段快速路车流量将不低于 4400 辆/时，为保证快速路安全畅通，城市道路交通指挥中心将实时发布道路预警信息，提醒驾驶员按预警速度要求行驶，请你帮助城市交通指挥中心测算一下上下班高峰时段，车速应控制在什么范围才能确保快速路安全畅通？
答案：
2. 解：
(1)由图像知，当 $ 0 ≤ x ≤ 28 $ 时，$ v = 80 $，
当 $ 28 ＜ x ≤ 188 $ 时，设一次函数表达式是 $ v = kx + b $，
把 $ (28, 80) $，$ (188, 0) $ 分别代入，得 $ \begin{cases} 28k + b = 80, \\ 188k + b = 0, \end{cases} $
解得 $ \begin{cases} k = -\frac{1}{2}, \\ b = 94, \end{cases} $
∴v 关于 x 的一次函数表达式是 $ v = -\frac{1}{2}x + 94(28 ＜ x ≤ 188) $。
即 $ v = \begin{cases} 80(0 ≤ x ≤ 28), \\ -\frac{1}{2}x + 94(28 ＜ x ≤ 188). \end{cases} $
(2)由
(1)知，当 $ 0 ≤ x ≤ 28 $ 时，$ p = vx = 80x ≤ 2240 $。
当 $ 28 ＜ x ≤ 188 $ 时，$ p = vx = ( -\frac{1}{2}x + 94 )x = -\frac{1}{2}(x - 94)^{2} + 4418 $，当 $ x = 94 $ 时，p 有最大值，为 4418。
∴$ p = \begin{cases} 80x(0 ≤ x ≤ 28), \\ -\frac{1}{2}(x - 94)^{2} + 4418(28 ＜ x ≤ 188), \end{cases} $
当 $ x = 94 $ 时，车流量 p 有最大值，为 4418 辆/时。
(3)由题意，得 $ p = ( -\frac{1}{2}x + 94 )x ≥ 4400 $，解得 $ 88 ≤ x ≤ 100 $，而 $ v = -\frac{1}{2}x + 94 $，
当 $ x = 88 $ 时，$ v = -\frac{1}{2}x + 94 = 50 $，当 $ x = 100 $ 时，$ v = -\frac{1}{2}x + 94 = 44 $，即 $ 44 ≤ v ≤ 50 $，
所以上下班高峰时段车速应控制在 44～50 千米/时才能确保快速路安全畅通。
(1)由图像知，当 $ 0 ≤ x ≤ 28 $ 时，$ v = 80 $，
当 $ 28 ＜ x ≤ 188 $ 时，设一次函数表达式是 $ v = kx + b $，
把 $ (28, 80) $，$ (188, 0) $ 分别代入，得 $ \begin{cases} 28k + b = 80, \\ 188k + b = 0, \end{cases} $
解得 $ \begin{cases} k = -\frac{1}{2}, \\ b = 94, \end{cases} $
∴v 关于 x 的一次函数表达式是 $ v = -\frac{1}{2}x + 94(28 ＜ x ≤ 188) $。
即 $ v = \begin{cases} 80(0 ≤ x ≤ 28), \\ -\frac{1}{2}x + 94(28 ＜ x ≤ 188). \end{cases} $
(2)由
(1)知，当 $ 0 ≤ x ≤ 28 $ 时，$ p = vx = 80x ≤ 2240 $。
当 $ 28 ＜ x ≤ 188 $ 时，$ p = vx = ( -\frac{1}{2}x + 94 )x = -\frac{1}{2}(x - 94)^{2} + 4418 $，当 $ x = 94 $ 时，p 有最大值，为 4418。
∴$ p = \begin{cases} 80x(0 ≤ x ≤ 28), \\ -\frac{1}{2}(x - 94)^{2} + 4418(28 ＜ x ≤ 188), \end{cases} $
当 $ x = 94 $ 时，车流量 p 有最大值，为 4418 辆/时。
(3)由题意，得 $ p = ( -\frac{1}{2}x + 94 )x ≥ 4400 $，解得 $ 88 ≤ x ≤ 100 $，而 $ v = -\frac{1}{2}x + 94 $，
当 $ x = 88 $ 时，$ v = -\frac{1}{2}x + 94 = 50 $，当 $ x = 100 $ 时，$ v = -\frac{1}{2}x + 94 = 44 $，即 $ 44 ≤ v ≤ 50 $，
所以上下班高峰时段车速应控制在 44～50 千米/时才能确保快速路安全畅通。
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