《2026年启东中学作业本九年级数学下册苏科版徐州专版》

1. 如图，在 $ \mathrm{Rt} △ ABC $ 中，$ ∠ C = 90^{\circ} $，$ AC = 8 $，$ BC = 4 $，$ ∠ A = α $，易知 $ \tan α = \frac{1}{2} $，小明同学想求 $ \tan 2α $ 的值，他在 $ AC $ 上取点 $ D $，使得 $ BD = AD $，则 $ \tan 2α = $$\frac{4}{3}$.

答案： 1. $\frac{4}{3}$

2. (2025·浙江一模)【阅读理解】小宁学习三角函数时，遇到一个这样的问题：在 $ \mathrm{Rt} △ ABC $ 中，$ ∠ C = 90^{\circ} $，$ ∠ B = 22.5^{\circ} $，求 $ \tan 22.5^{\circ} $ 的值.
【解题思路】小宁先画出了几何图形(如图①)，他觉得 $ 22.5^{\circ} $ 虽然不是特殊角，但 $ 22.5^{\circ} $ 是 $ 45^{\circ} $ 的一半，于是他尝试着在 $ CB $ 上截取 $ CD = CA $，再连接 $ AD $，构造出等腰 $ △ ABD $ (如图②).

【解题过程】在 $ CB $ 上截取 $ CD = CA $，再连接 $ AD $，可证 $ △ ADB $ 为等腰三角形，设 $ AC = CD = a $，则 $ AD = BD = \sqrt{2}a $.
$ \therefore \tan 22.5^{\circ} = \frac{AC}{BC} = \frac{a}{\sqrt{2}a + a} = \frac{1}{\sqrt{2} + 1} = \frac{\sqrt{2} - 1}{(\sqrt{2} + 1)(\sqrt{2} - 1)} = \sqrt{2} - 1 $.
【尝试应用】(1)如图③，求 $ \tan 15^{\circ} $ 的值；
【拓展应用】(2)如图④，某同学站在离纪念碑底 $ A $ 5 米的 $ C $ 处，测得纪念碑顶点 $ B $ 的仰角为 $ 75^{\circ} $，该同学的眼睛 $ D $ 点离地面的距离为 1.5 米，请帮助他求出纪念碑的高度 $ AB $. (结果保留整数，参考数据：$ \sqrt{3} \approx 1.73 $，$ \sqrt{2} \approx 1.41 $)

答案：
2. 解：
(1)如答图，

作 AB 边的垂直平分线交 BC 于点 D，连接 AD，则 BD = AD，
$\therefore ∠ BAD=∠ B=15^{\circ}$，$\therefore ∠ ADC=30^{\circ}$。
设 AC = m，在 Rt$△$ACD 中，AD = 2m，CD = $\sqrt{3}m$，
$\therefore BD = 2m$，$\therefore BC = BD + CD = 2m + \sqrt{3}m=(2 + \sqrt{3})m$，
$\therefore \tan 15^{\circ}=\frac{AC}{BC}=\frac{m}{(2 + \sqrt{3})m}=\frac{1}{2 + \sqrt{3}}=\frac{2 - \sqrt{3}}{(2 + \sqrt{3})(2 - \sqrt{3})}=2 - \sqrt{3}$。
(2)由题意，得四边形 ACDE 是矩形，
$\therefore AE = CD = 1.5$米，DE = AC = 5 米。
在 Rt$△$BED 中，$∠ BDE = 75^{\circ}$，$\therefore ∠ B = 15^{\circ}$，
$\therefore \tan 15^{\circ}=\tan B=\frac{DE}{BE}=\frac{5}{BE}=2 - \sqrt{3}$，
$\therefore BE=(10 + 5\sqrt{3})$米，
$\therefore AB = AE + BE = 1.5 + 10 + 5\sqrt{3}\approx 20$（米）。
答：纪念碑的高度 AB 约为 20 米。