《2026年启东中学作业本九年级数学下册苏科版徐州专版》

1. 如图,抛物线$y=-x^{2}+bx+c$与一直线相交于$A(1,0),C(-2,3)$两点,与$y$轴交于点$N$,其顶点为$D$.
(1)求抛物线及直线$AC$的函数表达式.
(2)在对称轴上是否存在一点$M$,使$△ ANM$的周长最小？若存在,请求出点$M$的坐标和$△ ANM$周长的最小值;若不存在,请说明理由.
(3)若$P$是抛物线上位于直线$AC$上方的一个动点,求$△ APC$面积的最大值及此时点$P$的坐标.

答案：
1.解:
(1)将A(1,0),C(−2,3)代入y=−x²+bx+c,得$\begin{cases}-1 + b + c = 0,\\-4 - 2b + c = 3,\end{cases}$解得$\begin{cases}b = -2,\\c = 3,\end{cases}$
∴抛物线的函数表达式为y=−x²−2x+3.
　设直线AC的函数表达式为y=mx+n(m≠0),
　将A(1,0),C(-2,3)代入y=mx+n,得
　$\begin{cases}m + n = 0,\\-2m + n = 3,\end{cases}$解得$\begin{cases}m = -1,\ = 1,\end{cases}$
∴直线AC的函数表达式为y=−x+1.
(2)存在.当x=0时,y=−x²−2x+3=3,
∴点N的坐标为(0,3).
∵y=−x²−2x+3=−(x+1)²+4,
∴抛物线的对称轴为直线x=−1.
∵点C的坐标为(−2,3),
∴点C,N关于抛物线的对称轴对称.
　设直线AC与抛物线的对称轴的交点为M,如答图①所示.
∵点C,N关于抛物线的对称轴对称，
∴MN=CM,
∴AM+MN=AM+MC=AC,
∴此时△ANM的周长取最小值.
　当x=−1时,y=−x+1=2,
∴此时点M的坐标为(−1,2).
∵点A的坐标为(1,0),点C的坐标为(−2,3),点N的坐标为(0,3)，
∴AC= $\sqrt{3²+3²}$=3$\sqrt{2}$,AN=$\sqrt{10}$,
∴AM+MN+AN=AC+AN=3$\sqrt{2}$+$\sqrt{10}$,
∴在对称轴上存在一点M(−1,2),使△ANM的周长最小，△ANM周长的最小值为3$\sqrt{2}$+$\sqrt{10}$
　　
(3)过点P作PE//y轴交x轴于点E,交直线AC于点F,过点C作CQ//y轴交x轴于点Q,如答图②所示.设点P的坐标为(x,−x²−2x+3),−2＜x＜1,则点E 的坐标为(x,0),点F的坐标为(x,-x + 1)，
∴PE=−x²−2x+3,EF=−x+1,
∴PF=PE−EF=−x²−2x+3−(−x+1)=−x²−x+2.
∵点C的坐标为(−2,3),
∴点Q的坐标为(−2,0),
∴AQ=1−(−2)=3,
∴S△APC=$\frac{1}{2}$AQ·PF=−$\frac{3}{2}$x²−$\frac{3}{2}$x+3=−$\frac{3}{2}$(x+$\frac{1}{2}$)²+$\frac{27}{8}$.
∵−$\frac{3}{2}$＜0,
∴当x=−$\frac{1}{2}$时，△APC的面积取最大值，最大值为$\frac{27}{8}$,此时点P的坐标为(−$\frac{1}{2}$,$\frac{15}{4}$).