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1. (2024·凉州区期末)如图①,在矩形 ABCD 中,动点 P 从点 B 出发,以 2 cm/s 的速度沿折线 B—C—D—A 匀速运动至点 A 停止. 设点 P 的运动时间为 t(s),△PAB 的面积为 y(cm²),y 关于 t 的函数图像如图②所示,则矩形 ABCD 的对角线长为 (
A.$4\sqrt{10}\ \mathrm{cm}$
B.$2\sqrt{10}\ \mathrm{cm}$
C.5 cm
D.10 cm
D
)A.$4\sqrt{10}\ \mathrm{cm}$
B.$2\sqrt{10}\ \mathrm{cm}$
C.5 cm
D.10 cm
答案：
1. D 点拨：
∵点 P 以 2 cm/s 的速度运动 t s，
∴点 P 运动的路程为 2t cm，当点 P 运动到点 C 处时，t = 3，
∴BC = 2×3 = 6(cm)。当点 P 运动到点 D 处时，t = 7，
∴BC + CD = 2×7 = 14(cm)，
∴CD = 8 cm。
∵四边形 ABCD 为矩形，
∴AB = CD = 8 cm，
∴AC = $\sqrt{AB^{2}+BC^{2}}$ = 10 cm。
∵点 P 以 2 cm/s 的速度运动 t s，
∴点 P 运动的路程为 2t cm，当点 P 运动到点 C 处时，t = 3，
∴BC = 2×3 = 6(cm)。当点 P 运动到点 D 处时，t = 7，
∴BC + CD = 2×7 = 14(cm)，
∴CD = 8 cm。
∵四边形 ABCD 为矩形，
∴AB = CD = 8 cm，
∴AC = $\sqrt{AB^{2}+BC^{2}}$ = 10 cm。
2. (2024·姑苏区校级月考)如图①,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,D 为 AC 上一点,CD=$\sqrt{2}$,动点 P 以每秒 1 个单位长度的速度从点 C 出发,沿折线 C—B—A 匀速运动,到达点 A 时停止,以 DP 为边作正方形 DPEF. 设点 P 的运动时间为 t s,正方形 DPEF 的面积为 S. 在点 P 由点 B 到点 A 的运动过程中,经探究发现 S 是关于 t 的二次函数,并绘制成如图②所示的图像. 根据图像信息,可知线段 AB 的长是
6
.
答案：
2. 6
3. 如图①,在矩形 ABCD 中,AB=8,E 是 AD 的中点. 动点 P 从点 A 出发,以每秒 1 个单位长度的速度沿 AD 向点 D 运动,同时动点 Q 从点 B 出发,以每秒 2 个单位长度的速度沿折线 B—C—D 运动,当一点到达点 D 时,另一点也随之停止运动. 连接 PQ,EQ,设动点 P 运动的时间为 t 秒,△EPQ 的面积为 S,当点 P 与点 E 重合时,记 S=0. 图②中的曲线是动点 Q 在线段 CD 上时 S 与 t 的函数图像.
(1)①AD=
②当 0≤t≤3 时,S 与 t 的函数表达式为
(2)经探究,发现当点 Q 在线段 CD 上运动时,S 是关于 t 的二次函数. 请求出此时 S 与 t 的函数表达式,并写出自变量 t 的取值范围.
(1)①AD=
6
；②当 0≤t≤3 时,S 与 t 的函数表达式为
S = -4t + 12
.(2)经探究,发现当点 Q 在线段 CD 上运动时,S 是关于 t 的二次函数. 请求出此时 S 与 t 的函数表达式,并写出自变量 t 的取值范围.
答案：
3.
(1)①6 ②S = -4t + 12
(2)解：如答图，当点 Q 在线段 CD 上运动时，
DQ = 6 + 8 - 2t = 14 - 2t，EP = t - 3，
此时 S = $\frac{1}{2}$(t - 3)(14 - 2t)，
∴S = -t² + 10t - 21，
自变量 t 的取值范围为 3 ≤ t ≤ 6。
3.
(1)①6 ②S = -4t + 12
(2)解：如答图，当点 Q 在线段 CD 上运动时，
DQ = 6 + 8 - 2t = 14 - 2t，EP = t - 3，
此时 S = $\frac{1}{2}$(t - 3)(14 - 2t)，
∴S = -t² + 10t - 21，
自变量 t 的取值范围为 3 ≤ t ≤ 6。
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