搜索
1. 如图，四边形DEFG是△ABC的内接矩形，AH是△ABC的高，DE：DG=1：2，BC=40 cm，AH=30 cm，则矩形DEFG的周长是
72
cm。
答案：
1. 72
2. 如图，在△ABC中，BC=6，BC边上的高为4，在△ABC的内部作一个矩形EFGD，使EF在BC边上，另外两个顶点分别在AB，AC边上，则对角线EG的长度的最小值为
$\frac{12\sqrt{13}}{13}$
。
答案：
2. $\frac{12\sqrt{13}}{13}$
3. 如图，在锐角△ABC中，边BC的长为6，高AD的长为8，两动点M，N分别在边AB，AC上滑动，且MN//BC，以MN为边向下作正方形MPQN。设正方形的边长为x，正方形MPQN与△ABC重叠部分的面积为y。当x是多少时，重叠部分的面积y最大？最大是多少？
答案：
3. 解：有三种情形：①边 $PQ$ 在 $△ ABC$ 内部；②边 $PQ$ 在边 $BC$ 上；③边 $PQ$ 在 $△ ABC$ 的外部。其中情形①的面积小于情形②的面积。设 $AD$ 交 $MN$ 于点 $K$。
$\because MN// BC$，$\therefore △ AMN∽△ ABC$，$\therefore \frac{MN}{BC}=\frac{AK}{AD}$。
当 $PQ$ 在 $BC$ 边上时，$KD = MP = x$，$\therefore \frac{x}{6}=\frac{8 - x}{8}$，
解得 $x=\frac{24}{7}$，即 $MN=\frac{24}{7}$，
$\therefore$ 重叠部分的面积 $y = (\frac{24}{7})^{2}=\frac{576}{49}$。
当 $PQ$ 在 $△ ABC$ 的外部时，正方形的边长 $x$ 的取值范围是 $\frac{24}{7}＜ x＜6$，此时 $\frac{x}{6}=\frac{8 - KD}{8}$，解得 $KD = 8-\frac{4}{3}x$，
$\therefore$ 重叠部分的面积 $y = x×(8-\frac{4}{3}x)=-\frac{4}{3}x^{2}+8x=-\frac{4}{3}(x - 3)^{2}+12$。$\because -\frac{4}{3}＜0$，
$\therefore$ 当 $\frac{24}{7}＜ x＜6$ 时，$y$ 随 $x$ 的增大而减小，$\therefore y＜\frac{576}{49}$。
综上可知，当 $x=\frac{24}{7}$ 时，重叠部分的面积 $y$ 最大，最大是 $\frac{576}{49}$。
$\because MN// BC$，$\therefore △ AMN∽△ ABC$，$\therefore \frac{MN}{BC}=\frac{AK}{AD}$。
当 $PQ$ 在 $BC$ 边上时，$KD = MP = x$，$\therefore \frac{x}{6}=\frac{8 - x}{8}$，
解得 $x=\frac{24}{7}$，即 $MN=\frac{24}{7}$，
$\therefore$ 重叠部分的面积 $y = (\frac{24}{7})^{2}=\frac{576}{49}$。
当 $PQ$ 在 $△ ABC$ 的外部时，正方形的边长 $x$ 的取值范围是 $\frac{24}{7}＜ x＜6$，此时 $\frac{x}{6}=\frac{8 - KD}{8}$，解得 $KD = 8-\frac{4}{3}x$，
$\therefore$ 重叠部分的面积 $y = x×(8-\frac{4}{3}x)=-\frac{4}{3}x^{2}+8x=-\frac{4}{3}(x - 3)^{2}+12$。$\because -\frac{4}{3}＜0$，
$\therefore$ 当 $\frac{24}{7}＜ x＜6$ 时，$y$ 随 $x$ 的增大而减小，$\therefore y＜\frac{576}{49}$。
综上可知，当 $x=\frac{24}{7}$ 时，重叠部分的面积 $y$ 最大，最大是 $\frac{576}{49}$。
查看更多完整答案，请扫码查看
