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2. 如图①是一款多功能可调节的桌面手机、平板支架. 图②是其侧面示意图,点 A,B,C 处均可旋转$180^{\circ}$,CD 处可摆放平板或者手机. 其中$AB = 91$mm,$BC = 75$mm,$CD = 80$mm. 研究表明,当手机(CD)与桌面的夹角为$55^{\circ}$时,更符合人体工学设计,也是多数人操作手机最舒适的角度.
(1)如图③,当 AB 和桌面垂直且$BC⊥CD$时,可将 BC 绕点 B 旋转一定的角度,就能达到最舒适的角度,求此时$∠CBA$的度数;
(2)在(1)的条件下,求点 D 到 AB 的距离. (结果保留整数,参考数据:$sin35^{\circ}\approx 0.57$,$cos35^{\circ}\approx 0.82$,$tan35^{\circ}\approx 0.70$)
(1)如图③,当 AB 和桌面垂直且$BC⊥CD$时,可将 BC 绕点 B 旋转一定的角度,就能达到最舒适的角度,求此时$∠CBA$的度数;
(2)在(1)的条件下,求点 D 到 AB 的距离. (结果保留整数,参考数据:$sin35^{\circ}\approx 0.57$,$cos35^{\circ}\approx 0.82$,$tan35^{\circ}\approx 0.70$)
答案：
2.解:
(1)如答图,过点D作DE⊥AB于点E,
由题意,得∠CDE = 55°,∠DEB = 90°,
∵DC⊥BC,
∴∠BCD = 90°,
∴∠CBA = 360° - ∠BCD - ∠DEB - ∠CDE = 125°.
(2)如答图，过点C作CF⊥DE于点F，过点B作BG⊥CF于点G,
∴∠DFC = ∠EFC = ∠BGF = ∠BGC = 90°,
∴四边形BEFG是矩形，
∴BG = EF;
∵∠CDE = 55°,
∴∠DCF = 90° - ∠CDE = 35°.
∵∠DCB = 90°,
∴∠BCG = ∠DCB - ∠DCF = 55°,
∴∠CBG = 90° - ∠BCG = 35°.
在Rt△CDF中,CD = 80 mm,
∴DF = DC·sin35° ≈ 80×0.57 = 45.6(mm).
在Rt△BCG中,BC = 75 mm,
∴BG = BC·cos35° ≈ 75×0.82 = 61.5(mm),
∴DE = DF + EF = DF + BG = 45.6 + 61.5 ≈ 107(mm).答:点D到AB的距离约为107 mm.
2.解:
(1)如答图,过点D作DE⊥AB于点E,
由题意,得∠CDE = 55°,∠DEB = 90°,
∵DC⊥BC,
∴∠BCD = 90°,
∴∠CBA = 360° - ∠BCD - ∠DEB - ∠CDE = 125°.
(2)如答图，过点C作CF⊥DE于点F，过点B作BG⊥CF于点G,
∴∠DFC = ∠EFC = ∠BGF = ∠BGC = 90°,
∴四边形BEFG是矩形，
∴BG = EF;
∵∠CDE = 55°,
∴∠DCF = 90° - ∠CDE = 35°.
∵∠DCB = 90°,
∴∠BCG = ∠DCB - ∠DCF = 55°,
∴∠CBG = 90° - ∠BCG = 35°.
在Rt△CDF中,CD = 80 mm,
∴DF = DC·sin35° ≈ 80×0.57 = 45.6(mm).
在Rt△BCG中,BC = 75 mm,
∴BG = BC·cos35° ≈ 75×0.82 = 61.5(mm),
∴DE = DF + EF = DF + BG = 45.6 + 61.5 ≈ 107(mm).答:点D到AB的距离约为107 mm.
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