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1. (2024·鼓楼区一模)如图,在一笔直的海岸线上有 A,B 两个观测站,A 在 B 的正东方向,$AB = 2$km. 有一艘小船在点 P 处,从 A 测得小船在北偏西$60^{\circ}$的方向,从 B 测得小船在北偏东$45^{\circ}$的方向.
(1)填空:$∠PAB =\_\_\_\_\_\_^{\circ}$,$∠PBA =\_\_\_\_\_\_^{\circ}$;
(2)求点 P 到海岸线 AB 的距离;(结果保留根号)
(3)小船从点 P 处沿射线 AP 的方向航行一段时间后,到达点 C 处. 此时,从 B 测得小船在北偏西$15^{\circ}$的方向,求点 C 与点 B 之间的距离. (结果保留根号)
(1)填空:$∠PAB =\_\_\_\_\_\_^{\circ}$,$∠PBA =\_\_\_\_\_\_^{\circ}$;
(2)求点 P 到海岸线 AB 的距离;(结果保留根号)
(3)小船从点 P 处沿射线 AP 的方向航行一段时间后,到达点 C 处. 此时,从 B 测得小船在北偏西$15^{\circ}$的方向,求点 C 与点 B 之间的距离. (结果保留根号)
答案：
1.
(1)30 45
(2)解:如答图,过点P作PD⊥AB于点D.设PD = x km.在Rt△PBD中,∠PBD = ∠BPD = 45°,
∴BD = PD = x km.在Rt△PAD中,∠ADP = 90°,∠PAD = 90° - 60° = 30°,
∴AD = √3 PD = √3 x km.
∵BD + AD = AB,
∴x + √3 x = 2,解得x = √3 - 1,
∴点P到海岸线AB的距离为(√3 - 1)km.
(3)解:如答图，过点B作BF⊥AC于点F.根据题意，得∠ABC = 90° + 15° = 105°,在Rt△ABF中,∠AFB = 90°,∠BAF = 30°,
∴BF = $\frac{1}{2}$AB = 1 km,
∠C = 180° - ∠BAC - ∠ABC = 180° - 30° - 105° = 45°.在Rt△BCF中,∠BFC = 90°,∠C = 45°,
∴BC = √2 BF = √2 km,
∴点C与点B之间的距离为√2 km
1.
(1)30 45
(2)解:如答图,过点P作PD⊥AB于点D.设PD = x km.在Rt△PBD中,∠PBD = ∠BPD = 45°,
∴BD = PD = x km.在Rt△PAD中,∠ADP = 90°,∠PAD = 90° - 60° = 30°,
∴AD = √3 PD = √3 x km.
∵BD + AD = AB,
∴x + √3 x = 2,解得x = √3 - 1,
∴点P到海岸线AB的距离为(√3 - 1)km.
(3)解:如答图，过点B作BF⊥AC于点F.根据题意，得∠ABC = 90° + 15° = 105°,在Rt△ABF中,∠AFB = 90°,∠BAF = 30°,
∴BF = $\frac{1}{2}$AB = 1 km,
∠C = 180° - ∠BAC - ∠ABC = 180° - 30° - 105° = 45°.在Rt△BCF中,∠BFC = 90°,∠C = 45°,
∴BC = √2 BF = √2 km,
∴点C与点B之间的距离为√2 km
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