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1. 如图，在$△ ABC$中，$D$为$BC$上一点，$E$为$AC$上一点，$AD$，$BE$交于点$G$，且$AG:GD$ $=4:1$，$BD:DC=2:3$，则$AE:EC$的值是(
A.$3:2$
B.$4:3$
C.$6:5$
D.$8:5$
D
)A.$3:2$
B.$4:3$
C.$6:5$
D.$8:5$
答案：
1. D
2. 如图，$AB$，$CD$分别垂直于$BD$，垂足分别为$B$，$D$，连接$AD$，$BC$交于点$E$，作$EF⊥ BD$，垂足为$F$. 设$AB=a$，$CD=b$，$EF=c$，若$\frac {b}{a}-\frac {a}{b}=1$，有下列等式：①$a+c=b$；②$b+c=$ $2a$；③$a^{2}=b· c$. 其中一定成立的是(
A.①②
B.①③
C.②③
D.①②③
B
)A.①②
B.①③
C.②③
D.①②③
答案：
2. B
3. 如图，在$□ ABCD$中，$P$是$BC$的中点，连接$AC$交$DP$于点$E$，连接$BE$并延长交$CD$于点$F$.
(1) 求证：$F$为$CD$的中点；
(2) 若$BF⊥ CD$，且$BE=\sqrt {3}CE$，求$\frac {AB}{BC}$的值.
(1) 求证：$F$为$CD$的中点；
(2) 若$BF⊥ CD$，且$BE=\sqrt {3}CE$，求$\frac {AB}{BC}$的值.
答案：
3.
(1) 证明：
∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AB//CD，AD//BC，AB = CD，AD = BC，
∴△ADE∽△CPE，△ABE∽△CFE，
∴$\frac{AD}{PC}=\frac{DE}{PE}=\frac{AE}{CE}$，$\frac{AB}{CF}=\frac{AE}{CE}=\frac{BE}{EF}$。
∵P 是 BC 的中点，
∴$CP=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}AD$，
∴$\frac{PC}{AD}=\frac{CE}{AE}=\frac{CF}{AB}=\frac{1}{2}$，
∴$\frac{CF}{CD}=\frac{1}{2}$，
∴F 为 CD 的中点。
(2) 解：由
(1)知$\frac{EF}{BE}=\frac{CF}{AB}=\frac{CE}{AE}=\frac{1}{2}$，
∵$BE=\sqrt{3}CE$，
∴$EF=\frac{1}{2}BE=\frac{\sqrt{3}}{2}CE$，$AE = 2CE$。
∵BF⊥CD，AB//CD，
∴∠ABE = ∠BFC = 90°，
∴$AB=\sqrt{AE^{2}-BE^{2}}=CE$，
∴$CF=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}CE$，$BF = BE + EF=\frac{3\sqrt{3}}{2}CE$，
∴$BC=\sqrt{BF^{2}+CF^{2}}=\sqrt{7}CE$，
∴$\frac{AB}{BC}=\frac{CE}{\sqrt{7}CE}=\frac{\sqrt{7}}{7}$。
(1) 证明：
∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AB//CD，AD//BC，AB = CD，AD = BC，
∴△ADE∽△CPE，△ABE∽△CFE，
∴$\frac{AD}{PC}=\frac{DE}{PE}=\frac{AE}{CE}$，$\frac{AB}{CF}=\frac{AE}{CE}=\frac{BE}{EF}$。
∵P 是 BC 的中点，
∴$CP=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}AD$，
∴$\frac{PC}{AD}=\frac{CE}{AE}=\frac{CF}{AB}=\frac{1}{2}$，
∴$\frac{CF}{CD}=\frac{1}{2}$，
∴F 为 CD 的中点。
(2) 解：由
(1)知$\frac{EF}{BE}=\frac{CF}{AB}=\frac{CE}{AE}=\frac{1}{2}$，
∵$BE=\sqrt{3}CE$，
∴$EF=\frac{1}{2}BE=\frac{\sqrt{3}}{2}CE$，$AE = 2CE$。
∵BF⊥CD，AB//CD，
∴∠ABE = ∠BFC = 90°，
∴$AB=\sqrt{AE^{2}-BE^{2}}=CE$，
∴$CF=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}CE$，$BF = BE + EF=\frac{3\sqrt{3}}{2}CE$，
∴$BC=\sqrt{BF^{2}+CF^{2}}=\sqrt{7}CE$，
∴$\frac{AB}{BC}=\frac{CE}{\sqrt{7}CE}=\frac{\sqrt{7}}{7}$。
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