《2026年启东中学作业本九年级数学下册苏科版徐州专版》

3. 我们知道，三角形的内心是三条角平分线的交点，过三角形内心的一条直线与两边相交，两交点之间的线段把这个三角形分成两个图形. 若有一个图形与原三角形相似，则把这条线段叫做这个三角形的“内似线”.
(1) 等边三角形“内似线”的条数为3；
(2) 如图①，在 $ △ ABC $ 中，$ AB = AC $，点 $ D $ 在 $ AC $ 上，且 $ BD = BC = AD $，求证：$ BD $ 是 $ △ ABC $ 的“内似线”；
(3) 如图②，在 $ \mathrm{Rt} △ ABC $ 中，$ ∠ C = 90^{\circ} $，$ AC = 4 $，$ BC = 3 $，$ E $，$ F $ 分别在边 $ AC $，$ BC $ 上，且 $ EF $ 是 $ △ ABC $ 的“内似线”，求 $ EF $ 的长.

答案：
3.
(1)3
(2)证明：
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C．
∵BD=BC=AD，
∴∠ABD=∠A，∠BDC=∠C，
∴∠BDC=∠ABC．
又
∵∠C=∠C，
∴△BDC∽△ABC，
∴∠CBD=∠A，
∴∠CBD=∠ABD，
∴BD平分∠ABC，即BD过△ABC的内心，
∴BD是△ABC的“内似线”．
(3)解：在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB=5．作△ABC的内心O，则点O到△ABC各边的距离相等，设这个距离为r，则$S_{△ ABC}=\frac {1}{2}r×(3+4+5)=6r$．
∵$S_{△ ABC}=\frac {1}{2}AC· BC=\frac {1}{2}×4×3=6$，
∴r=1．
∵EF是△ABC的“内似线”，
∴△CEF∽△CAB或△CEF∽△CBA．
当△CEF∽△CAB时，如答图①，可知EF//AB，过点O作OM⊥AC于点M，ON⊥BC于点N，
∴OM=ON=1，且ON//AC，OM//BC，
∴△EOM∽△ABC∽△OFN，
∴$\frac {OE}{OM}=\frac {AB}{BC}$，$\frac {OF}{ON}=\frac {AB}{AC}$，
∴$OE=\frac {5}{3}$，$OF=\frac {5}{4}$，
∴$EF=\frac {5}{3}+\frac {5}{4}=\frac {35}{12}$．
当△CEF∽△CBA时，如答图②，
同理可得$OE=\frac {5}{4}$，$OF=\frac {5}{3}$，
∴$EF=\frac {35}{12}$．
综上可知，EF的长为$\frac {35}{12}$．