《2026年启东中学作业本九年级数学下册苏科版徐州专版》

1. 如图，二次函数 $ y = ax^{2} + bx + c(a ＞ 0) $ 图像的顶点为 $ D $，其图像与 $ y $ 轴交于点 $ C $，与 $ x $ 轴的交点 $ A $，$ B $ 的横坐标分别为 $ -1 $，$ 3 $。当 $ △ ACB $ 为等腰三角形时，满足条件的 $ a $ 的值有(B)

A.1 个
B.2 个
C.3 个
D.4 个

答案： 1. B

2. 综合与探究
如图，直线 $ y = -x + 4 $ 交 $ x $ 轴于点 $ A $，交 $ y $ 轴于点 $ C $，抛物线 $ y = \frac{1}{2}x^{2} + bx + c $ 经过点 $ A $，交 $ y $ 轴于点 $ B(0, -2) $，$ D $ 为抛物线上一动点，过点 $ D $ 作 $ x $ 轴的垂线，交直线 $ AC $ 于点 $ P $，设点 $ D $ 的横坐标为 $ m $。
(1) 求抛物线的函数表达式；
(2) 当点 $ D $ 在直线 $ AC $ 下方的抛物线上运动时，求线段 $ PD $ 长度的最大值；
(3) 当以 $ B $，$ C $，$ P $ 为顶点的三角形是等腰三角形时，求此时 $ m $ 的值。

答案： 2. 解：
(1)在 $ y = -x + 4 $ 中，当 $ y = 0 $ 时，$ x = 4 $，$\therefore A(4,0)$。
将 $ A(4,0) $，$ B(0,-2) $ 代入 $ y = \frac{1}{2}x^{2} + bx + c $，
得 $\begin{cases}\frac{1}{2} × 16 + 4b + c = 0, \\ c = -2,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}b = -\frac{3}{2}, \\ c = -2,\end{cases}$
$\therefore$ 抛物线的函数表达式为 $ y = \frac{1}{2}x^{2} - \frac{3}{2}x - 2 $。
(2) $\because$ 点 $ D $ 的横坐标为 $ m $，$\therefore$ 点 $ P $ 的坐标为 $ (m,-m + 4) $，点 $ D $ 的坐标为 $ (m,\frac{1}{2}m^{2} - \frac{3}{2}m - 2) $。
$\because$ 点 $ D $ 在直线 $ AC $ 下方的抛物线上，
$\therefore PD = -m + 4 - (\frac{1}{2}m^{2} - \frac{3}{2}m - 2) = -\frac{1}{2}m^{2} + \frac{1}{2}m + 6 = -\frac{1}{2}(m - \frac{1}{2})^{2} + \frac{49}{8}$。
$\because -\frac{1}{2} ＜ 0$，$\therefore$ 当 $ m = \frac{1}{2} $ 时，线段 $ PD $ 的长度有最大值，最大值为 $\frac{49}{8}$。
(3) 由 $ B(0,-2) $，$ C(0,4) $，$ P(m,-m + 4) $，得 $ BC^{2} = 36 $，$ PB^{2} = m^{2} + (-m + 4 + 2)^{2} = 2m^{2} - 12m + 36 $，$ PC^{2} = m^{2} + (-m + 4 - 4)^{2} = 2m^{2} $，
当 $ △ BCP $ 为等腰三角形时，有三种情况：
① 当 $ BC = PB $ 时，$ BC^{2} = PB^{2} $，即 $ 36 = 2m^{2} - 12m + 36 $，解得 $ m_{1} = 0 $（不合题意，舍去），$ m_{2} = 6 $；
② 当 $ BC = PC $ 时，$ BC^{2} = PC^{2} $，即 $ 36 = 2m^{2} $，解得 $ m_{1} = 3\sqrt{2} $，$ m_{2} = -3\sqrt{2} $；
③ 当 $ PB = PC $ 时，$ PB^{2} = PC^{2} $，即 $ 2m^{2} - 12m + 36 = 2m^{2} $，解得 $ m = 3 $。
综上所述，$ m $ 的值为 $ 6 $ 或 $ 3\sqrt{2} $ 或 $ -3\sqrt{2} $ 或 $ 3 $。