《2026年启东中学作业本九年级数学下册苏科版徐州专版》

1. 如图，直线 $ AB $ 与坐标轴相交于点 $ A $，$ B $。将 $ △ AOB $ 沿直线 $ AB $ 翻折到 $ △ ACB $ 的位置，当点 $ C $ 的坐标为 $ (3,\sqrt{3}) $ 时，直线 $ AB $ 的函数表达式是 (B)

A.$ y = -x + 2\sqrt{3} $
B.$ y = -\sqrt{3}x + 2\sqrt{3} $
C.$ y = -2x + 2\sqrt{3} $
D.$ y = \sqrt{3}x - 2\sqrt{3} $

答案： 1.B

2. 如图，在 $ △ ABC $ 中，$ ∠ ABC = 90^{\circ} $，$ AB = \sqrt{3} $，$ BC = 1 $，$ P $ 为 $ △ ABC $ 内一点，$ ∠ BPC = 90^{\circ} $，若 $ \tan ∠ PBA = \frac{\sqrt{3}}{2} $，求 $ ∠ APB $ 的度数。

答案：
2.解:如答图，过点A作AT⊥BP交BP的延长线于点T.
∵tan∠TBA=$\frac{TA}{TB}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$,AB=$\sqrt{3}$,
∴AT=$\frac{3\sqrt{7}}{7}$,BT=$\frac{2\sqrt{21}}{7}$.
∵∠BCP+∠CBP=90°,∠CBP+∠ABP=90°,
∴∠BCP=∠ABP.
∵∠BPC=90°,
∴tan∠BCP=$\frac{PB}{PC}$.
∵tan∠PBA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴$\frac{PB}{PC}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$.
　又
∵BC=1,
∴PB=$\frac{\sqrt{21}}{7}$,
∴PT=BT−PB=$\frac{2\sqrt{21}}{7}-\frac{\sqrt{21}}{7}=\frac{\sqrt{21}}{7}$,
∴tan∠APT=$\frac{AT}{PT}=\frac{3\sqrt{7}}{7}÷\frac{\sqrt{21}}{7}=\sqrt{3}$,
∴∠APT=60°,
∴∠APB=120°.
　　　　　　

3. 如图，在四边形 $ ABCD $ 中，$ ∠ B = ∠ D = 45^{\circ} $，$ ∠ ACB = ∠ BAD = 105^{\circ} $。求证：$ AB = CD $。

答案：
3.证明:如答图,过点C作CE⊥AB于点E,过点A作AF⊥CD于点F,
∴∠AEC=∠BEC=90°,∠AFC=∠AFD=90°.
∵∠B=∠D=45°,
∴∠DAF=45°,∠BCE=45°.
∵∠ACB=∠BAD=105°,
∴∠ACE=60°,
∴∠CAE=30°,
∴∠CAF=∠BAD−∠CAE−∠DAF=105°−30°−45°=30°.
　设BE=CE=x,
∴AE=$\sqrt{3}$CE=$\sqrt{3}x$,AC=2CE=2x,
∴CF=$\frac{1}{2}$AC=x,AF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AC=$\sqrt{3}x$,
∴DF=AF=$\sqrt{3}x$.
∵AB=BE+AE=x+$\sqrt{3}x$,CD=CF+DF=x+$\sqrt{3}x$,
∴AB=CD.