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1. 如图是 $5×4$ 的网格,每个小格都为正方形.点 $A,B,C,D,E$ 均为格点,线段 $AB,CE$ 交于点 $O$,则 $\sin∠ BOE=$
$\frac{\sqrt{2}}{2}$
.
答案：
1. $\frac{\sqrt{2}}{2}$
2. 如图,在边长为 1 的正方形组成的网格中,$AB$ 和 $CD$ 相交于点 $P,\sin∠ APD=$
$\frac{11\sqrt{170}}{170}$
.
答案：
2. $\frac{11\sqrt{170}}{170}$
3. 如图,在 $10×6$ 的正方形网格中,每个小正方形的边长均为 1,线段 $AB,EF$ 的端点均在小正方形的顶点上.
(1)在图中以 $AB$ 为边画 $\mathrm{Rt}△ ABC$,点 $C$ 在小正方形的格点上,使 $∠ BAC = 90^{\circ}$,且 $\tan∠ ACB=\frac{2}{3}$;
(2)在(1)的条件下,在图中画出以 $EF$ 为边且面积为 3 的 $△ DEF$,点 $D$ 在小正方形的格点上,使 $∠ CBD = 45^{\circ}$,连接 $CD$,直接写出线段 $CD$ 的长.
(1)在图中以 $AB$ 为边画 $\mathrm{Rt}△ ABC$,点 $C$ 在小正方形的格点上,使 $∠ BAC = 90^{\circ}$,且 $\tan∠ ACB=\frac{2}{3}$;
(2)在(1)的条件下,在图中画出以 $EF$ 为边且面积为 3 的 $△ DEF$,点 $D$ 在小正方形的格点上,使 $∠ CBD = 45^{\circ}$,连接 $CD$,直接写出线段 $CD$ 的长.
答案：
3. 解:
(1)如答图.
由勾股定理，得 $AB = \sqrt{2^{2} + 2^{2}} = 2\sqrt{2}$，
$AC = \sqrt{3^{2} + 3^{2}} = 3\sqrt{2}$，$BC = \sqrt{5^{2} + 1^{2}} = \sqrt{26}$，
$\therefore AB^{2} + AC^{2} = (2\sqrt{2})^{2} + (3\sqrt{2})^{2} = 26$，
$BC^{2} = (\sqrt{26})^{2} = 26$，$\therefore AB^{2} + AC^{2} = BC^{2}$，
$\therefore △ ABC$ 是直角三角形，且 $∠ BAC = 90^{\circ}$，
$\therefore \tan∠ ACB = \frac{AB}{AC} = \frac{2\sqrt{2}}{3\sqrt{2}} = \frac{2}{3}$
(2)如答图，$S_{△ DEF} = \frac{1}{2} × 2 × 3 = 3$.
$\because BC = \sqrt{26}$，$CD = \sqrt{5^{2} + 1^{2}} = \sqrt{26}$，$BD = \sqrt{4^{2} + 6^{2}} = \sqrt{52}$，
$\therefore BC^{2} + CD^{2} = 52$，$BD^{2} = 52$，$\therefore BC^{2} + CD^{2} = BD^{2}$，
$\therefore ∠ BCD = 90^{\circ}$，$BC = CD$，$\therefore ∠ CBD = 45^{\circ}$，$\therefore CD = \sqrt{26}$
第3题答图
3. 解:
(1)如答图.
由勾股定理，得 $AB = \sqrt{2^{2} + 2^{2}} = 2\sqrt{2}$，
$AC = \sqrt{3^{2} + 3^{2}} = 3\sqrt{2}$，$BC = \sqrt{5^{2} + 1^{2}} = \sqrt{26}$，
$\therefore AB^{2} + AC^{2} = (2\sqrt{2})^{2} + (3\sqrt{2})^{2} = 26$，
$BC^{2} = (\sqrt{26})^{2} = 26$，$\therefore AB^{2} + AC^{2} = BC^{2}$，
$\therefore △ ABC$ 是直角三角形，且 $∠ BAC = 90^{\circ}$，
$\therefore \tan∠ ACB = \frac{AB}{AC} = \frac{2\sqrt{2}}{3\sqrt{2}} = \frac{2}{3}$
(2)如答图，$S_{△ DEF} = \frac{1}{2} × 2 × 3 = 3$.
$\because BC = \sqrt{26}$，$CD = \sqrt{5^{2} + 1^{2}} = \sqrt{26}$，$BD = \sqrt{4^{2} + 6^{2}} = \sqrt{52}$，
$\therefore BC^{2} + CD^{2} = 52$，$BD^{2} = 52$，$\therefore BC^{2} + CD^{2} = BD^{2}$，
$\therefore ∠ BCD = 90^{\circ}$，$BC = CD$，$\therefore ∠ CBD = 45^{\circ}$，$\therefore CD = \sqrt{26}$
第3题答图
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