《2025年5年高考3年模拟高中物理选择性必修第三册人教版江苏专版》

5.(2025 河北秦皇岛一模) 如图所示, 一定质量的理想气体被活塞封闭在水平放置的导热良好的汽缸内。活塞的质量为 $m$, 横截面积为 $S$, 活塞可沿汽缸壁无摩擦滑动但不漏气, 开始时使汽缸开口向右水平放置, 一轻质弹簧两端分别与活塞和汽缸底部相连, 活塞与汽缸底部的距离为 $L$, 大气压强恒为 $p_{0}=\frac{m g}{S}$, 环境温度为 $T_{1}$。
现将汽缸缓慢地转到开口向上的竖直位置, 待稳定后对缸内气体逐渐加热, 使活塞与汽缸底部的距离再次为 $L$。已知对气体加热过程中气体膨胀对外做功, 同时吸收热量 $Q$, 重力加速度大小为 $g$, 弹簧劲度系数为 $k=\frac{m g}{L}$, 弹簧原长为 $L$, 弹簧弹性势能 $E_{\mathrm{p}}=\frac{1}{2} k x^{2}$ (其中 $k$ 为弹簧劲度系数, $x$ 为弹簧形变量), 整个过程弹簧未超出弹性限度, 求：

(1) 此时气体的温度 $T_{2}$;
(2) 加热过程活塞上升的高度 $h$;
(3) 对气体加热过程中气体增加的内能 $\Delta U$。

答案： 5.答案
(1)$2T_1$
(2)$\frac{3 - \sqrt{5}}{2}L$
(3)$Q - \frac{5 - \sqrt{5}}{4}mgL$
解析
(1)加热稳定后，对活塞受力分析，由于活塞受力平衡，可知$p_2S = p_0S + mg$
解得稳定时气体压强$p_2 = 2p_0$
根据理想气体的状态方程有$\frac{p_0LS}{T_1} = \frac{p_2LS}{T_2}$
联立解得$T_2 = 2T_1$
(2)由题意可知，加热过程结束后弹簧恰好恢复原长，可知加热过程中活塞上升的高度恰为加热前弹簧的压缩量，设活塞上升的高度即加热前弹簧的压缩量为$h$，汽缸由水平缓慢地转到开口向上的竖直位置，由理想气体的状态方程可得$\frac{p_1S(L - h)}{T_1} = \frac{p_0SL}{T_1}$
由于活塞受力平衡，则有$p_1S + kh = p_0S + mg$
结合$h ＜ L$
联立解得$h = \frac{3 - \sqrt{5}}{2}L$
(3)对活塞，从开始加热到稳定，由动能定理可得$W + \frac{1}{2}kh^2 - mgh - p_0Sh = 0 - 0$
由热力学第一定律，可得气体内能增加量$\Delta U = Q - W$
解得$\Delta U = Q - \frac{5 - \sqrt{5}}{4}mgL$

6.(2025 湖北武汉期中) 如图所示, 内看视颎壁光滑、厚度不计的绝热汽缸 $A 、 B$, 其底部由体积可忽略的细管连通, $A$ 上端与大气连通, $B$ 上端封闭。$A 、 B$ 汽缸中分别有厚度可忽略的绝热活塞 $M 、 N, A 、 B$ 汽缸的横截面积分别为 $4 S 、 S$, 两汽缸的高度都为 $h$。两活塞下方充有氮气, 活塞 $N$ 上方充有氧气。轻质且不可伸长的细绳连接活塞 $M$, 绕过光滑的定滑轮与重物连接。当大气压为 $p_{0}$ 、外界和汽缸内气体温度均为 $7^{\circ} \mathrm{C}$ 时系统处于静止状态, 此时活塞 $M$ 离汽缸顶的距离为 $\frac{1}{4} h$, 活塞 $N$ 离汽缸顶的距离为 $\frac{1}{2} h$。活塞 $M$ 的质量为 $\frac{p_{0} S}{g}$, 重物的质量和活塞 $N$ 的质量均为 $\frac{p_{0} S}{4 g}$, 整个过程不漏气, 气体均可视为理想气体, 重力加速度为 $g$, 热力学温度 $T$ 与摄氏温度 $t$ 的关系为 $T=t+273 \mathrm{~K}$。
(1) 现通过电阻丝缓慢加热氮气, 当活塞 $M$ 恰好升至汽缸 $A$ 顶部时, 求氮气的温度;
(2) 继续缓慢加热使活塞 $N$ 上升, 当活塞 $N$ 上升 $\frac{1}{8} h$ 时, 氧气的温度为 $47^{\circ} \mathrm{C}$, 求氧气的压强;
(3) 已知汽缸中氮气的内能为 $U=\alpha T$ ( $T$ 为氮气的热力学温度, $\alpha$ 为常数), 求第 (1) 问过程中电阻丝的发热量 $Q$。

答案： 6.答案
(1)$360\ K$
(2)$\frac{10}{7}p_0$
(3)$80\ K × \alpha + \frac{19}{16}p_0Sh$
解析
(1)汽缸$A$的横截面积是$B$的$4$倍，两汽缸等高，设汽缸$B$的容积为$V$，则汽缸$A$的容积为$4V$，气体的初始温度为$T_0 = (273 + 7)\ K = 280\ K$
在活塞$M$恰好升至汽缸$A$顶部时，氮气压强不变，根据盖 - 吕萨克定律得$\frac{3V + \frac{V}{2}}{T_0} = \frac{4V + \frac{V}{2}}{T_1}$
解得$T_1 = 360\ K$
(2)设初始时氮气的压强是$p_1$，氧气的压强是$p_2$。当活塞$N$上升$\frac{1}{8}h$时，设氧气的压强为$p_3$。加热前，对活塞$M$，由平衡条件有$p_0 × 4S + \frac{p_0S}{g} × g = p_1 × 4S + \frac{p_0S}{4g} × g$
解得$p_1 = \frac{19}{16}p_0$
对活塞$N$，由平衡条件有$p_2S + \frac{p_0S}{4g} × g = p_1S$
解得$p_2 = \frac{15}{16}p_0$
在加热过程，对氧气有
$\frac{p_2 × \frac{V}{2}}{T_0} = \frac{p_3 × \frac{3}{8}V}{T_2}$
其中$T_2 = (273 + 47)\ K = 320\ K$
得$p_3 = \frac{10}{7}p_0$
(3)缓慢加热氮气使活塞$M$恰好升至汽缸$A$顶部的过程中外界对气体做功
$W = -p_1 × 4S × \frac{1}{4}h = - \frac{19}{16}p_0Sh$
由热力学第一定律可知$\Delta U = W + Q$
则$Q = \Delta U - W = \alpha(360\ K - 280\ K) - (-\frac{19}{16}p_0Sh) = 80\ K × \alpha + \frac{19}{16}p_0Sh$
知识迁移
本题考查气体实验定律和热力学第一定律的综合运用，解题关键是分析清楚压强$p$、体积$V$、温度$T$三个参量的变化情况，选择合适的规律解题；另外本题涉及两部分气体状态变化问题，除了隔离研究两部分气体之外，还要把握它们之间的联系。