《2025年5年高考3年模拟高中物理选择性必修第三册人教版江苏专版》

1. 棱长为 $1 \mathrm{~nm}$ 的立方体, 可容纳液态氢分子 (直径约为 $10^{-10} \mathrm{~m}$) 的个数最接近 (B)

A.$10^{2}$
B.$10^{3}$
C.$10^{6}$
D.$10^{9}$

答案： 1.B 液态氢分子可认为是紧挨着的，其分子间的空隙可忽略，对此题而言，建立立方体模型比球体模型运算更简捷。将氢分子看作棱长为$10^{-10}m$的小立方体，则每个氢分子的体积$V_0=(10^{-10})^3m^3=10^{-30}m^3$，$1nm = 10^{-9}m$，则棱长为$1nm$的立方体的体积$V=(10^{-9})^3m^3=10^{-27}m^3$，所以可容纳的液态氢分子的个数$N=\frac{V}{V_0}=10^3$，故B正确。
方法点津
解题时根据液体的实际微观结构，构建分子模型——立方体模型(或球体模型)。当然分子的实际情况要比模型复杂得多。

2. 沙尘暴天气时, 空气中的悬浮微粒的浓度达到 $5.8 × 10^{-6} \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}$, 悬浮微粒的密度为 $2.0 × 10^{3} \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}$, 其中悬浮微粒的直径小于或等于 $10 \mu \mathrm{m}$ 的称为 “可吸入颗粒物”, 对人体的危害最大。设悬浮微粒中总体积的$\frac{1}{50}$为可吸入颗粒, 并认为所有可吸入颗粒物的平均直径为 $5.0 × 10^{-6} \mathrm{~m}$。求: $1.0 \mathrm{~m}^{3}$ 的空气中所含可吸入颗粒物的数量是多少?（计算时可把可吸入颗粒物视为球体, 计算结果保留 1 位有效数字）

答案： 2.答案$9 × 10^5$个
解析 沙尘暴天气时，$1.0m^3$的空气中所含悬浮微粒的总体积为$V=\frac{m}{\rho}=\frac{5.8 × 10^{-6} × 1.0}{2.0 × 10^3}m^3 = 2.9 × 10^{-9}m^3$
那么$1.0m^3$的空气中所含可吸入颗粒物的体积为$V'=\frac{V}{50}=5.8 × 10^{-11}m^3$
又因为可吸入颗粒物的平均体积为$V_0=\frac{1}{6}\pi d^3 \approx 6.54 × 10^{-17}m^3$
所以$1.0m^3$空气中所含的可吸入颗粒物的数量为$n=\frac{V'}{V_0} \approx 9 × 10^5$(个)
方法点津
应用估算法要掌握以下两个要点：一是建立物理模型，例如，分子的立方体模型(或球体模型)，运动学中的自由落体模型等;二是数学计算上要近似运算，例如，保留多少位有效数字或保留小数点后多少位等，估算时，要注意数据的数量级一定要准确。

3.(2025 北京人大附中期中) 理想气体是人们对实际气体简化而建立的一种理想模型, 理想气体具有如下特点: 分子本身不占有体积, 分子间无相互作用力, 分子间碰撞为弹性碰撞。从宏观上来看, 理想气体符合 $p V=n R T$, 表达式中 $p$ 为气体压强, $V$ 为气体体积, $T$ 为气体的热力学温度, $n$ 为气体的物质的量, $R$ 为常数, 该方程反映了一定质量理想气体在同一状态下三个状态参量之间的关系。
(1) 一般情况, 分子直径线度约为 $10^{-10} \mathrm{~m}$, 当分子间距离大于分子自身线度的 10 倍时, 分子间相互作用力可以忽略。已知空气平均密度约为 $\rho=1.3 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}$, 空气分子平均摩尔质量 $M=2.9 × 10^{-2} \mathrm{~kg} / \mathrm{mol}$, 阿伏加德罗常数约为 $N_{\mathrm{A}}=6 × 10^{23} \mathrm{~mol}^{-1}$。
①建立适当的模型, 写出空气分子平均间距的表达式;
②根据题目数据估算出空气分子的平均间距 (计算结果保留 1 位有效数字), 并据此判断此情况下空气是否可视为理想气体。
(2) 气体分子运动较为复杂, 做如下简化: 正方体密闭容器中有大量气体分子, 每个分子质量为 $m$, 单位体积内分子数量为 $n_{0}$, 我们假定: 分子大小可以忽略, 其速率均为 $v$, 且与器壁各面碰撞的机会均等, 与器壁碰撞前后瞬间, 分子速度方向都与器壁垂直, 且速率不变, 利用所学力学知识, 解决下列问题:
①导出气体压强 $p$ 的微观表达式;
②a. 求器壁在单位时间单位面积上受到的碰撞次数 $N_{0}$;
b. 一定质量的理想气体压强和体积变化规律如下图所示, 试判断器壁在单位时间单位面积上受到的碰撞次数 $N_{0 A}$ 与 $N_{0 B}$ 哪个更大。
(3) 试根据上述理想气体压强的宏观、微观表达式, 证明: 分子的平均动能 $E_{\mathrm{k}}$ 与热力学温度 $T$ 成正比。

]

答案：
3.答案
(1)①$d=\sqrt[3]{\frac{M}{\rho N_A}}$ ②$3 × 10^{-9}m$能
(2)①见解析 ②a.$\frac{1}{6}n_0v$ b.$N_{0A}$更大
(3)见解析
解析
(1)①将一个空气分子运动占据的空间看成一个立方体，则两个空气分子间距为一个立方体的棱长，则$d=\sqrt[3]{\frac{M}{\rho N_A}}$
②根据$d=\sqrt[3]{\frac{M}{\rho N_A}}$代入数据可得
$d=\sqrt[3]{\frac{2.9 × 10^{-2}}{1.3 × 6 × 10^{23}}}m \approx 3 × 10^{-9}m ＞ 10 × 10^{-10}m = 10^{-9}m$，则此种情况下空气可视为理想气体。
(2)①以气体分子为研究对象，以分子碰撞器壁时的速度方向为正方向，根据动量定理可知$-I'=-mv - mv = -2mv$
由牛顿第三定律可知，分子受到器壁的作用力的冲量与分子对器壁的作用力的冲量大小相等、方向相反，所以一个分子与器壁碰撞一次对器壁的作用力的冲量为$I = 2mv$
如图所示，以器壁的面积$S$为底，以$v\Delta t$为高构建柱体，由题设条件可知，柱体内的分子在$\Delta t$时间内有$\frac{1}{6}$与器壁发生碰撞，碰撞分子总数为$N=\frac{1}{6}n_0Sv\Delta t$

在$\Delta t$时间内，设$N$个分子对面积为$S$的器壁产生的作用力为$F$，$N$个分子对器壁的作用力的冲量为$F\Delta t = NI$
根据压强的定义得$p=\frac{F}{S}$
解得气体分子对器壁的压强$p=\frac{1}{3}n_0mv^2$
②a.由以上分析可知，器壁在单位时间单位面积上受到的碰撞次数$N_0=\frac{1}{6}n_0v$
b.设压强为$p$时，器壁在单位时间内单位面积上受到的碰撞次数为$N_0$，则$pS\Delta t = N_0 · 2mvS\Delta t$，可得$N_0=\frac{p}{2mv}$。A、B两种状态的压强相等，但是$V_B ＞ V_A$，则在A状态时气体的温度较低，A状态时气体分子的速率较小，则A状态时单位时间内单位面积上受到的碰撞次数较多，即$N_{0A} ＞ N_{0B}$。
(3)由于理想气体压强$p$和温度$T$的关系式为$p=\frac{nRT}{V}$
而$p=\frac{1}{3}n_0mv^2$
$E_k=\frac{1}{2}mv^2$
联立可知$E_k=\frac{3nR}{2n_0V}T \propto T$
方法点津
本题主要考查理想气体相关知识，包括通过建立模型求分子间距判断是否为理想气体、推导气体压强微观表达式、求单位时间单位面积碰撞次数以及证明分子平均动能与热力学温度的关系，涉及动量定理、压强的定义式、动能表达式等知识点，在求解过程中可以体会建立模型的重要性。