《2025年全优标准卷八年级数学上册人教版》

21. (8 分)如图,在△ABC 中,∠C ＞ ∠B,AD 是 BC 边上的高,AE 是△ABC 的角平分线.
(1)当∠B = 26°,∠C = 74°时,求∠DAE 的度数;
(2)根据第(1)问得到的结果,猜想∠C - ∠B 与∠DAE 之间有怎样的等量关系,并说明理由.

答案： 21.解：
(1)
∵在△ABC中，∠BAC=180° - ∠C - ∠B=180° - 26° - 74°=80°，AE为∠BAC的平分线，
∴∠BAE=$\frac{1}{2}∠BAC=40°$.
∵在直角△ABD中，∠BAD=90° - ∠B=90° - 26°=64°，
∴∠DAE=∠BAD - ∠BAE=64° - 40°=24°.
(2)∠DAE=$\frac{1}{2}(∠C - ∠B)$，理由如下：
∵∠EAB=$\frac{1}{2}∠BAC=\frac{1}{2}(180° - ∠B - ∠C)$，∠BAD=90° - ∠B，
∴∠DAE=∠BAD - ∠EAB=(90° - ∠B) - $\frac{1}{2}(180° - ∠B - ∠C)=\frac{1}{2}(∠C - ∠B)$.

22. (10 分)已知 a,b,c 为△ABC 的三边长,且 a,b 满足 |2a - b + 2| + (a + b - 8)² = 0.
(1)求 c 的取值范围;
(2)若 2x - c = 1,求 x 的取值范围.

答案： 22.解：
(1)
∵|2a - b + 2| + (a + b - 8)²=0，
∴$\begin{cases}2a - b + 2 = 0\\a + b - 8 = 0\end{cases}$，解得$\begin{cases}a = 2\\b = 6\end{cases}$.
∵6 - 2=4，6 + 2=8，
∴4＜c＜8，
∴c的取值范围为4＜c＜8.
(2)
∵2x - c=1，
∴c=2x - 1，
∴4＜2x - 1＜8，
∴$\frac{5}{2}＜x＜\frac{9}{2}$，
∴x的取值范围为$\frac{5}{2}＜x＜\frac{9}{2}$.

23. (10 分)已知△ABC 的三边长分别为 a,b,c.
(1)化简: |a - b - c| - |b - c - a| + |a + b - c|;
(2)若 a = 5,b = 2,且△ABC 的周长为偶数.
①求 c 的值;
②试判断△ABC 的形状.

答案： 23.解：
(1)
∵a，b，c是△ABC的三边长，
∴a - b - c＜0，b - c - a＜0，a + b - c＞0，
∴|a - b - c| - |b - c - a| + |a + b - c|=-a + b + c + b - c - a + a + b - c=-a + 3b - c.
(2)①
∵a=5，b=2，
∴5 - 2＜c＜5 + 2，即3＜c＜7.
∵△ABC的周长为偶数，
∴c=5.
②
∵a=c=5，
∴△ABC是等腰三角形.

24. (12 分)综合与实践.
(1)如图 1,在△ABC 中,∠ABC 与∠ACB 的平分线交于点 P,如果∠A = 50°,那么∠BPC =115°;
(2)如图 2,作△ABC 的外角∠MBC,∠NCB 的平分线交于点 Q,试求出∠Q 与∠A 之间的数量关系;
(3)如图 3,延长 BP,QC 交于点 E,在△BQE 中,若存在一个内角等于另一个内角的 4 倍,请直接写出∠A 的度数.

答案：
24.解：
(1)115°【解析】
∵∠A=50°，
∴∠ABC + ∠ACB=130°.
∵点P是∠ABC和∠ACB的平分线的交点，
∴∠PBC + ∠PCB=$\frac{1}{2}(∠ABC + ∠ACB)$，
∴∠P=180° - (∠PBC + ∠PCB)=180° - $\frac{1}{2}(∠ABC + ∠ACB)=180° - 65°=115°$.
(2)
∵外角∠MBC，∠NCB的平分线交于点Q，
∴∠QBC + ∠QCB=$\frac{1}{2}(∠MBC + ∠NCB)=\frac{1}{2}(360° - ∠ABC - ∠ACB)=\frac{1}{2}(180° + ∠A)=90° + \frac{1}{2}∠A$，
∴∠Q=180° - (90° + $\frac{1}{2}∠A)=90° - \frac{1}{2}∠A$.
(3)如图，延长BC至点F.

∵CQ为△ABC的外角∠NCB的平分线，
∴CE是△ABC的外角∠ACF的平分线，
∴∠ACF=2∠ECF.
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABC=2∠EBC.
∵∠ECF=∠EBC + ∠E，
∴2∠ECF=2∠EBC + 2∠E，
即∠ACF=∠ABC + 2∠E.
又∠ACF=∠ABC + ∠A，
∴∠A=2∠E，即∠E=$\frac{1}{2}∠A$.
∵∠EBQ=∠EBC + ∠CBQ=$\frac{1}{2}∠ABC + \frac{1}{2}∠MBC=\frac{1}{2}(∠ABC + ∠MBC)=90°$，
∴如果在△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的4倍，那么有以下四种情况：
①∠EBQ=4∠E=90°，则∠E=22.5°，
∴∠A=2∠E=45°；
②∠EBQ=4∠Q=90°，
则∠Q=22.5°，
∴∠E=67.5°，
∴∠A=2∠E=135°；
③∠Q=4∠E，则5∠E=90°，
∴∠E=18°，
∴∠A=2∠E=36°；
④∠E=4∠Q，则∠E=72°，
∴∠A=2∠E=144°.
综上所述，∠A的度数是45°或135°或36°或144°.