《2025年全优标准卷八年级数学上册人教版》

22. (10 分)如图,在△ABC 中,AB 边的垂直平分线 l₁ 交 BC 于点 D,AC 边的垂直平分线 l₂ 交 BC 于点 E,l₁ 与 l₂ 相交于点 O,连接 OA,OB,OC.
(1)若△ADE 的周长为 8 cm,△OBC 的周长为 20 cm.
①求线段 BC 的长；
②求线段 OA 的长.
(2)若∠BAC=120°,求∠DAE 的度数.

答案： 22.解:
(1)①
∵$l_1$是AB边的垂直平分线，
∴DA=DB.
∵$l_2$是AC边的垂直平分线，
∴EA=EC,
∴BC=BD+DE+EC=DA+DE+EA=8cm.②
∵$l_1$是AB边的垂直平分线，
∴OA=OB.
∵$l_2$是AC边的垂直平分线，
∴OA=OC.
∵OB+OC+BC=20cm,BC=8cm,
∴OA=OB=OC=6cm.
(2)
∵∠BAC=120°,
∴∠ABC+∠ACB=60°.
∵DA=DB,EA=EC,
∴∠BAD=∠ABC,∠EAC=∠ACB,
∴∠DAE=∠BAC−∠BAD−∠EAC=120°−60°=60°.

23. (10 分)如图,在四边形 ABCD 中,DC//AB,∠B=∠ACB,AE 平分∠CAD 交 BC 的延长线于点 E.
(1)如图 1,若∠BAC=30°,则∠B=75°；
(2)如图 1,求证:∠D=2∠E；
(3)如图 2,∠DAE 与∠DCE 的平分线交于点 F,求∠E 与∠F 的比.

答案：
23.
(1)75° 【解析】
∵∠B=∠ACB,∠BAC+∠B+∠ACB=180°,∠BAC=30°,
∴∠B=$\frac{180° - 30°}{2}$=75°.
(2)证明:如图，延长AC,在AC的延长线上任取一点G.
　　　　　　　　　　　　　　
∵DC//AB,
∴∠DCE=∠B.
∵∠ACB=∠ECG,∠B=∠ACB,
∴∠DCE=∠ECG=$\frac{1}{2}$∠DCG;
∵AE平分∠DAC,
∴∠EAC=$\frac{1}{2}$∠DAC.
∵∠E=∠ECG−∠EAC,
　∠D=∠DCG−∠DAC=2(∠ECG−∠EAC),
∴∠D=2∠E.
(3)解:
∵AF平分∠DAE,CF平分∠DCE,
∴∠DAF=∠FAE,∠FCD=∠ECF.
∵∠F+∠FAE=∠E+∠ECF,∠F+∠FCD=∠D+∠DAF,
∴2∠F=∠D+∠E.
　由
(2)知∠D=2∠E,
∴2∠F=3∠E,
　即∠E:∠F=2:3.

24. (11 分)将一副常用的三角尺(△ABC 中,∠ACB=90°,∠BAC=30°；△ADE 中,∠D=90°,∠EAD=45°,AC=AE)按如图 1 所示的方式放置.按如图 2 的方式,将△ADE 绕点 A 以每秒 5°的速度沿逆时针方向旋转,设旋转的时间为 t s(0≤t≤36).
(1)图 1 中,∠BAD 的度数为15°；
(2)在△ADE 绕点 A 旋转的过程中,当 DE 与△ABC 的一边平行时,求 t 的值.

答案：
24.解:
(1)15 【解析】由题意，得∠DAC=45°,∠BAC=30°,
∴∠BAD=∠DAC−∠BAC=45°−30°=15°.
(2)当DE//AC时，如图1所示，
　　　　　　
∵DE//AC,
∴∠EAC=∠E=45°,
∴t=45÷5=9(s);
当DE//AB时,如图2所示，
　　　　　
∵DE//AB,
∴∠EAB=∠E=45°,
∴∠EAC=∠EAB+∠BAC=45°+30°=75°,
∴t=75÷5=15(s);
当DE//BC时,如图3所示，
　　　　
∵DE//BC,∠D=∠C=90°,
∴A,D,C三点共线，
∴∠EAC=180°−∠EAD=180°−45°=135°,
∴t=135÷5=27(s).
综上所述，t的值为9或15或27.