《2025年全优标准卷八年级数学上册人教版》

17. (6 分)在△ABC 中,已知 AC ＜ AB,AD 为△ABC 的中线,AB = 12 cm,△ABD 和△ADC 的周长差是 4 cm,求△ABC 的边 AC 的长.

答案： 17.解：
∵AD为△ABC的中线，
∴BD=CD.
∵△ABD和△ADC的周长差是4cm，AC＜AB，
∴AB + AD + BD - (AC + AD + CD)=AB + AD + BD - AC - AD - CD=AB - AC=4cm.
∵AB=12cm，
∴AC=AB - 4=8(cm).

18. (7 分)如图,CD 是△ABC 的高,E 为 BC 边上的一点,连接 AE 交 CD 于点 F,∠BCD = 10°,∠AEB = 75°.
(1)求∠BAE 的度数;
(2)若 AE 平分∠BAC,求∠ACD 的度数.

答案： 18.解：
(1)
∵∠BCD=10°，∠AEB=75°，∠AEB=∠BCD + ∠CFE，
∴∠CFE=75° - 10°=65°，
∴∠AFD=∠CFE=65°.
∵CD是△ABC的高，
∴∠ADC=90°，
∴∠BAE + ∠AFD=90°，
∴∠BAE=90° - 65°=25°.
(2)
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAC=2∠BAE=50°，
∴∠ACD=90° - ∠BAC=40°.

19. (8 分)如图,CD 为△ABC 的角平分线,点 E,F,G 分别在△ABC 的边 BC,AB,AC 上,连接 EF,DG,EF // CD,∠1 = ∠2.
(1)求证:BC // DG;
(2)若∠B = 80°,∠EFD = 100°,求∠AGD 的度数.

答案： 19.
(1)证明：
∵EF//CD，
∴∠1=∠BCD.
又∠1=∠2，
∴∠BCD=∠2，
∴BC//DG.
(2)解：
∵∠EFD是△BEF的一个外角，
∴∠EFD=∠B + ∠1.
∵∠EFD=100°，∠B=80°，
∴∠1=∠EFD - ∠B=20°.
∵EF//CD，
∴∠BCD=∠1=20°.
∵CD为△ABC的角平分线，
∴∠BCA=2∠BCD=40°.
∵DG//BC，
∴∠AGD=∠BCA=40°.

20. (8 分)如图,在△ABC 中,∠B = ∠C,点 D 在 BC 上,点 E 在 AC 上,且∠ADE = ∠AED,∠BAC = 80°.
(1)如果 AD 平分∠BAC,求∠EDC 的大小;
(2)如果∠EDC 与∠BAD 互余,求∠CAD 的大小.

答案： 20.解：
(1)
∵∠BAC=80°，
∴∠B=∠C=$\frac{1}{2}×(180° - 80°)=50°$.
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD=$\frac{1}{2}∠BAC=40°$.
∵∠ADE + ∠AED + ∠CAD=180°，
∴∠ADE=∠AED=$\frac{1}{2}×(180° - 40°)=70°$.
∵∠AED=∠EDC + ∠C，
∴∠EDC=70° - 50°=20°.
(2)设∠EDC=x，则∠BAD=90° - x.
∵∠AED=∠EDC + ∠C=x + 50°，
∴∠ADE=∠AED=x + 50°.
∵∠ADE + ∠AED + ∠CAD=180°，
∴∠CAD=180° - 2(x + 50°)=80° - 2x.
∵∠BAD + ∠CAD=∠BAC，
∴90° - x + 80° - 2x=80°，解得x=30°，
∴∠CAD=80° - 2×30°=20°.