《2025年全优标准卷八年级数学上册人教版》

23. (8 分)如图,某校有一块长为$(3a + b)m$,宽为$(2a + b)m$的长方形空地,中间是边长为$(a + b)m$的正方形空地,其余为活动场地,学校计划将活动场地(阴影部分)进行硬化。
(1)用含$a$,$b$的代数式表示需要硬化的面积并化简;
(2)当$a = 5$,$b = 2$时,求需要硬化的面积。

答案： 23.解：
(1)需要硬化的面积表示为：$(3a + b)(2a + b)-(a + b)^{2}$.
化简：$(3a + b)(2a + b)-(a + b)^{2}=6a^{2}+3ab+2ab + b^{2}-(a^{2}+2ab + b^{2})=5a^{2}+3ab$.
(2)当$a = 5,b = 2$时，$5a^{2}+3ab=5×25+3×5×2 = 155(m^{2})$.
答：需要硬化的面积为$155m^{2}$.

24. (10 分)我们知道,一般的数学公式、法则、定义可以正向运用,也可以逆向运用。例如,“同底数幂的乘法”“幂的乘方”“积的乘方”这几个法则的逆向运用表现为:$a^{m + n} = a^{m}· a^{n}$;$a^{mn} = (a^{m})^{n}$;$a^{m}b^{m} = (ab)^{m}$;其中$m$,$n$为正整数。结合以上材料解决下列问题。
(1)已知$a = 2^{55}$,$b = 3^{44}$,$c = 4^{33}$,请把$a$,$b$,$c$用“$＜$”连接起来;
(2)若$x^{a} = 2$,$x^{b} = 5$,求$x^{3a + 2b}$的值;
(3)化简:$3^{100}× 8^{102}× (\frac{1}{4})^{103}$。

答案： 24.解：
(1)$\because a = 2^{55}=(2^{5})^{11}=32^{11}$，
$b = 3^{44}=(3^{4})^{11}=81^{11}$，
$c = 4^{33}=(4^{3})^{11}=64^{11}$，
$32^{11}＜64^{11}＜81^{11}$，
$\therefore a ＜ c ＜ b$.
(2)当$x^{a}=2,x^{b}=5$时，$x^{3a + 2b}=x^{3a}· x^{2b}=(x^{a})^{3}·(x^{b})^{2}=2^{3}×5^{2}=8×25 = 200$.
(3)$3^{100}×8^{102}×(\frac{1}{4})^{103}$
$=3^{100}×2^{306}×(\frac{1}{2})^{206}$
$=(3×2)^{100}×(2×\frac{1}{2})^{206}$
$=6^{100}×1^{206}$
$=6^{100}$.