《2025年全优标准卷八年级数学上册人教版》

17. (7 分)如图,在$10×10$的网格中建立平面直角坐标系,规定在网格内(包括边界)横、纵坐标都是整数的点称为格点,已知$\triangle ABC$的三个顶点都是格点.
(1)$\triangle ABC$的顶点坐标分别是$A$(2,4),$B$(5,2),$C$(3,-1);
(2)若$\triangle ABC$与$\triangle A'B'C'$关于$x$轴对称,且$A$,$B$,$C$的对应点分别是点$A'$,$B'$,$C'$,请在网格中画出$\triangle A'B'C'$,并写出点$C'$的坐标:(3,1);
(3)若点$D$是格点,且以点$A$,$B$,$C$,$D$为顶点的四边形是轴对称图形,则所有符合条件的点$D$的坐标为 (0,1)或(−5,0).

答案：
解:
(1)(2,4)　(5,2)　(3,−1)
(2)如图,△A'B'C'即为所求作图形.
　　　　　　
　由图可得，点C'的坐标为(3,1).
(3)如图，点D₁,D₂均满足题意，
∴点D的坐标为(0,1)或(−5,0).故答案为:(0,1)或(−5,0).

18. (7 分)如图,已知$\angle ADE + \angle BCF = 180^{\circ}$,$BE$平分$\angle ABC$交$CD$的延长线于点$E$,且$\angle ABC = 2\angle E$,$AF$平分$\angle BAD$交$DC$的延长线于点$F$,$AF$,$BE$交于点$M$.求证:
(1)$\angle E + \angle F = 90^{\circ}$;
(2)$\triangle ADF$是等腰三角形.

答案： 证明:
(1)
∵∠ADE+∠BCF=180°,∠ADE+∠ADF=180°,
∴∠ADF=∠BCF,
∴AD//BC,
∴∠DAB+∠ABC=180°.
∵BE平分∠ABC交CD的延长线于点E,AF平分∠BAD交DC的延长线于点F，
∴∠ABE=$\frac{1}{2}$∠ABC,∠BAF=$\frac{1}{2}$∠BAD,
∴∠ABE+∠BAF=90°.
∵∠ABE=$\frac{1}{2}$∠ABC,∠ABC=2∠E,
∴∠ABE=∠E,
∴AB//EF,
∴∠F=∠BAF,
∴∠E+∠F=90°.
(2)
∵AF平分∠BAD交DC的延长线于点F，
∴∠BAF=∠DAF;
　　由
(1)知AB//EF,
∴∠BAF=∠F,
∴∠DAF=∠F,
∴AD=FD,
∴△ADF是等腰三角形.

19. (7 分)如图,在$\triangle ABC$中,$AB = AC$,$\angle BAC = 120^{\circ}$,$AD\perp BC$,垂足为点$G$,且$AD = AB$.$\angle EDF = 60^{\circ}$,其两边分别交边$AB$,$AC$于点$E$,$F$.求证:
(1)$\triangle ABD$是等边三角形;
(2)$BE = AF$.

答案： 证明:
(1)
∵AB=AC,AD⊥BC,
∴∠BAD=∠DAC=$\frac{1}{2}$∠BAC.
∵∠BAC=120°,
∴∠BAD=∠DAC=$\frac{1}{2}$×120°=60°.
　又
∵AD=AB,
∴△ABD是等边三角形.
(2)
∵△ABD是等边三角形，
∴∠ABD=∠ADB=60°,BD=AD.
∵∠EDF=60°,
∴∠ADB=∠EDF,
∴∠ADB−∠ADE=∠EDF−∠ADE,
∴∠BDE=∠ADF.
　在△BDE与△ADF中，
$\begin{cases}∠DBE=∠DAF=60°,\\BD=AD,\\∠BDE=∠ADF,\end{cases}$
∴△BDE≌△ADF(ASA),
∴BE=AF.

20. (8 分)如图,点$P$在四边形$ABCD$的内部,且点$P$与点$M$关于$AD$对称,$PM$交$AD$于点$G$,点$P$与点$N$关于$BC$对称,$PN$交$BC$于点$H$,$MN$分别交$AD$,$BC$于点$E$,$F$.
(1)连接$PE$,$PF$,若$MN = 12\mathrm{cm}$,求$\triangle PEF$的周长;
(2)若$\angle C + \angle D = 134^{\circ}$,求$\angle HPG$的度数.

答案： 解:
(1)
∵点P与点M关于AD对称，点P与点N关于BC对称，
∴EM=EP,FP=FN,
∴C△PEF=PE+EF+FP=ME+EF+FN=
　MN=12(cm).
(2)
∵∠C+∠D=134°,
∴∠A+∠B=360°−134°=226°.
∵PG⊥AD,PH⊥BC,
∴∠PGA=∠PHB=90°,
∴∠HPG=540°−90°−90°−226°=134°.

21. (9 分)如图,在等边三角形$ABC$中,$E$是$AB$上的动点,点$E$与点$A$,$B$不重合,点$D$在线段$CB$的延长线上,且$EC = ED$.
(1)如图 1,若$E$是$AB$的中点,求证:$BD = AE$;
(2)如图 2,若$E$不是$AB$的中点,(1)中的结论“$BD = AE$”是否成立? 若不成立,请直接写出$BD$与$AE$的数量关系;若成立,请给予证明.

答案：

(1)证明:
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°.
∵E是AB的中点，
∴CE平分∠ACB,AE=BE,
∴∠BCE=30°.
∵ED=EC,
∴∠D=∠BCE=30°.
∵∠ABC=∠D+∠BED,
∴∠BED=30°,
∴∠D=∠BED,
∴BD=BE,
∴BD=AE;
(2)解:
(1)中的结论成立，证明如下:
　如图，过点E作EF//BC交AC于点F，
　则∠AEF=∠ABC,∠AFE=∠ACB.
　　　　　　　　
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=∠A=60°,AB=AC=BC,
∴∠AEF=∠ABC=60°,∠AFE=∠ACB=60°,∠D+∠BED=∠FCE+∠ECD=60°,
∴∠AEF=∠AFE=∠A=60°,
∴△AEF是等边三角形，
∴EF=AE,∠DBE=∠EFC=120°.
∵ED=EC,
∴∠D=∠ECD,
∴∠BED=∠FCE.
　在△DEB和△ECF中,
$\begin{cases}∠BED=∠FCE,\\∠DBE=∠EFC,\\DE=EC,\end{cases}$
∴△DEB≌△ECF(AAS),
∴DB=EF,
∴BD=AE;