《2025年全优标准卷八年级数学上册人教版》

23. (8 分)阅读下面的解题过程:已知$\frac{x}{x^{2}+1}=\frac{1}{3}$,求$\frac{x^{2}}{x^{4}+1}$的值.
解:由$\frac{x}{x^{2}+1}=\frac{1}{3}$,知$x\neq 0$,$\therefore\frac{x^{2}+1}{x}=3$,即$x+\frac{1}{x}=3$.
$\therefore\frac{x^{4}+1}{x^{2}}=x^{2}+\frac{1}{x^{2}}=(x+\frac{1}{x})^{2}-2=3^{2}-2=7$,$\therefore\frac{x^{2}}{x^{4}+1}=\frac{1}{7}$.
以上解法中,是先将已知等式的两边“取倒数”,然后求出所求式子倒数的值,我们把这种解法叫作“倒数法”,请你利用“倒数法”解决问题:已知$\frac{x}{x^{2}-x + 1}=\frac{1}{7}$,求$\frac{x^{2}}{x^{4}+x^{2}+1}$的值.

答案： 23.解：由$\frac{x}{x^2-x+1}=\frac{1}{7}$，知x≠0，
∴$\frac{x^2-x+1}{x}=7$，
即x-1+$\frac{1}{x}=7$，
∴x+$\frac{1}{x}=8$，
∴$\frac{x^4+x^2+1}{x^2}=x^2+1+\frac{1}{x^2}=(x+\frac{1}{x})^2-2+1=64-2+1=63$，
∴$\frac{x^2}{x^4+x^2+1}=\frac{1}{63}$.

24. (10 分)某公司设计的人形机器人亮相 2025 年春节联欢晚会后爆火,并带动整个人形机器人行业的畅销.某快递公司采用 A,B 两种型号的数控机器人分拣快递.已知 A 型数控机器人每小时分拣快递的件数是 B 型数控机器人每小时分拣快递件数的 1.5 倍.一项分拣 600 件快递的任务中,一台 B 型数控机器人分拣了 420 件后,由一台 A 型数控机器人接力分拣,该任务共花费 9 小时完成.
(1)两种数控机器人每小时分别分拣多少件快递?
(2)“五一”期间,快递公司的业务量猛增,已知两种机器人每天的工作时长均为 8 小时,若要使其刚好分拣完 5 760 件快递,且两种机器人都要参与分拣,那么两种机器人分别安排多少台才能完成分拣?

答案： 24.解：
(1)设B型数控机器人每小时分拣x件快递，
则A型数控机器人每小时分拣1.5x件快递，
根据题意，得$\frac{420}{x}+\frac{600-420}{1.5x}=9$，解得x=60.
经检验，x=60是所列方程的解，且符合题意，
∴1.5x=1.5×60=90.
答：A型数控机器人每小时分拣90件快递，B型数控机器人每小时分拣60件快递.
(2)设安排m台A型数控机器人，n台B型数控机器人分拣快递，
根据题意，得8(90m+60n)=5760，
∴n=12-$\frac{3}{2}m$.
又
∵m,n均为正整数，
∴$\begin{cases}m=2,\\n=9\end{cases}$或$\begin{cases}m=4,\\n=6\end{cases}$或$\begin{cases}m=6,\\n=3\end{cases}$
∴共有3种安排方案，
方案1：安排2台A型数控机器人，9台B型数控机器人；
方案2：安排4台A型数控机器人，6台B型数控机器人；
方案3：安排6台A型数控机器人，3台B型数控机器人.