《2025年春如金卷课时同步ABC九年级数学上册北师大版》

1. 已知四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°。如果添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，那么这个条件可以是（ ）
A. ∠D=90°
B. AB=CD
C. AD=BC
D. BC=CD

答案： D
解析：∠A=∠B=∠C=90°，四边形ABCD是矩形，添加邻边相等BC=CD，即为正方形，故选D。

2. 下列条件中，能判定四边形是正方形的是（ ）
A. 对角线互相垂直且相等的四边形
B. 对角线互相垂直的矩形
C. 对角线相等的平行四边形
D. 对角线互相平分且垂直的四边形

答案： B
解析：A. 对角线互相垂直且相等的四边形不一定是正方形；B. 对角线互相垂直的矩形是正方形；C. 对角线相等的平行四边形是矩形；D. 对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，故选B。

3. 如图，若四边形ABCD为平行四边形，则下列结论不正确的是（ ）
A. 当AC=BD时，□ABCD是正方形
B. 当AC⊥BD时，□ABCD是菱形
C. 当∠ABC=90°时，□ABCD是矩形
D. 当AB=BC时，□ABCD是菱形

答案： A
解析：AC=BD时，平行四边形ABCD是矩形，不一定是正方形，A错误；B、C、D正确，故选A。

4. 如图，四边形ABCD是平行四边形，AC与BD相交于点O，AB=AD。添加一个条件：______，可使它成为正方形。

答案： AC=BD（或∠ABC=90°等）
解析：AB=AD，平行四边形ABCD是菱形，添加AC=BD（对角线相等的菱形是正方形）或∠ABC=90°（有一个角是直角的菱形是正方形）。

5. 如图，在正方形ABCD中，P是对角线AC上一点，过点P分别作PM⊥AD于点M，PN⊥AB于点N，E是AM上一点，且∠EPA=15°。
（1）求证：四边形PMAN是正方形；
（2）若EP=2，求正方形PMAN的面积。

答案： （1）证明：
∵PM⊥AD，PN⊥AB，∠A=90°，
∴四边形PMAN是矩形。AC是正方形ABCD对角线，∠CAD=45°，
∴PM=AM，
∴矩形PMAN是正方形。
（2）解：设正方形边长为a，则PM=PN=AM=a，∠PAM=45°，∠EPA=15°，
∴∠PEA=180°-45°-15°=120°，∠PEM=60°。在Rt△PME中，sin60°=PM/EP，即√3/2=a/2，解得a=√3，
∴面积=a²=3。

6. 如图，AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△BAD和△ACD的高，得到下列四个结论：
①OA=OD；②AD⊥EF；③当∠A=90°时，四边形AEDF是正方形；④AE+DF=AF+DE。
其中正确的是______（填序号）。

答案： ②③④
解析：①AD是角平分线，DE=DF，AE=AF，
∴AD垂直平分EF，O是EF中点，OA不一定等于OD，①错误；②AD⊥EF，正确；③∠A=90°，四边形AEDF是矩形，DE=DF，
∴是正方形，正确；④AE=AF，DE=DF，
∴AE+DF=AF+DE，正确。故填②③④。