《2025年春如金卷课时同步ABC九年级数学上册北师大版》

1.不解方程,判断方程$2x^{2}-6x=7$的根的情况是（ ）
A.有两个相等的实数根
B.有两个不相等的实数根
C.没有实数根
D.无法确定

答案： B
解析：方程化为一般形式$2x^{2}-6x - 7=0$，$\Delta=(-6)^{2}-4×2×(-7)=36 + 56=92＞0$，有两个不相等的实数根，选项B正确。

2.若关于$x$的一元二次方程$(k-5)x^{2}-2x+2=0$有实数根,则整数$k$的最大值为（ ）
A.4
B.5
C.6
D.7

答案： C
解析：$\Delta=(-2)^{2}-4(k - 5)×2\geq0$且$k - 5\neq0$，即$4 - 8(k - 5)\geq0$，$4 - 8k + 40\geq0$，$-8k\geq - 44$，$k\leq5.5$，整数$k$的最大值为5，选项B正确。

3.方程$x^{2}-2x=0$的判别式$\Delta=$_______.

答案： 4
解析：$a=1$，$b=-2$，$c=0$，$\Delta=(-2)^{2}-4×1×0=4$。

4.对于实数$a,b$定义运算“☆”如下:$a☆b=ab^{2}-ab$,如$3☆2=3×2^{2}-3×2=6$,则方程$1☆x=2$的根的情况为_______.

答案： 有两个不相等的实数根
解析：$1☆x=x^{2}-x=2$，即$x^{2}-x - 2=0$，$\Delta=(-1)^{2}-4×1×(-2)=1 + 8=9＞0$，有两个不相等的实数根。

5.用公式法解方程:$2x^{2}+3x-6=0$.

答案： $x_{1}=\frac{-3+\sqrt{57}}{4}$，$x_{2}=\frac{-3-\sqrt{57}}{4}$
解析：$a=2$，$b=3$，$c=-6$，$\Delta=3^{2}-4×2×(-6)=9 + 48=57$，$x=\frac{-3\pm\sqrt{57}}{4}$。

6.如图,在宽为20 m,长为32 m的矩形耕地上修建同样宽的三条道路(横向与纵向垂直)，把耕地分成若干小矩形块,作为小麦试验田,假设试验田面积为$570m^{2}$,求道路宽为多少？设道路宽为$x$m,列出的方程是_______.(化为一般式)

答案： $3x^{2}-72x + 70=0$
解析：试验田的长为$(32 - 2x)m$，宽为$(20 - x)m$，面积$(32 - 2x)(20 - x)=570$，展开得$640 - 32x - 40x + 2x^{2}=570$，整理得$2x^{2}-72x + 70=0$，即$x^{2}-36x + 35=0$。