《2025年春如金卷课时同步ABC九年级数学上册北师大版》

1.若点$C$是线段$AB$的黄金分割点，且$AC＞BC$，则下列等式成立的是（ ）
A. $AB^{2}=AC\cdot CB$
B. $CB^{2}=AC\cdot AB$
C. $AC^{2}=BC\cdot AB$
D. $AC^{2}=2BC\cdot AB$

答案： C
解析：黄金分割点定义：较长线段的平方等于较短线段与全长的乘积，即$AC^{2}=BC\cdot AB$。

2.如图，点$C$是$AB$的黄金分割点，那么$\frac{AC}{AB}$与$\frac{AC}{BC}$的值分别是（ ）
A. $\frac{\sqrt{5}+1}{2}$，$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
B. $\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$
C. $\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
D. $\frac{\sqrt{5}+1}{2}$，$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$

答案： B
解析：设$AB = 1$，$AC = x$，则$BC=1 - x$。
$x^{2}=1×(1 - x)$，$x=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$（负值舍去）。
$\frac{AC}{AB}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，$\frac{AC}{BC}=\frac{x}{1 - x}=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$。

3.把长为$10\spacecm$的线段黄金分割后，其中较短的线段长度是______$cm$。

答案： $15 - 5\sqrt{5}$
解析：较长线段为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}×10=5\sqrt{5}-5$，较短线段为$10-(5\sqrt{5}-5)=15 - 5\sqrt{5}$。

4.大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”的美。如图，点$P$为$AB$的黄金分割点（$AP＞PB$）。如果$BP$的长度为$2\spacecm$，那么$AP$的长度为______$cm$。

答案： $\sqrt{5}+1$
解析：设$AP = x$，则$AB=x + 2$。
$AP^{2}=BP\cdot AB$，$x^{2}=2(x + 2)$，$x^{2}-2x - 4 = 0$。
解得$x=1\pm\sqrt{5}$（负值舍去），$x=\sqrt{5}+1$。

5.如图，二胡是中国古老的民族拉弦乐器之一。音乐家发现，二胡的千斤线绑在琴弦的黄金分割点处时，奏出来的音调最和谐、最悦耳。一把二胡的琴弦$AC$长为$70\spacecm$，千斤线绑在点$B$处，则$B$点下方的琴弦$BC$长为______$cm$。

答案： $35(\sqrt{5}-1)$
解析：$BC=\frac{\sqrt{5}-1}{2}×70=35(\sqrt{5}-1)$。

6.宽与长的比是$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$的矩形叫黄金矩形。心理测试表明：黄金矩形令人赏心悦目，它给我们以协调、匀称的美感。现在，按照如下的步骤作图：
第一步：作一个正方形$ABCD$；
第二步：分别取$AD,BC$的中点$M,N$，连接$MN$；
第三步：以点$N$为圆心，$ND$长为半径画弧，交$BC$的延长线于点$E$；
第四步：过点$E$作$EF\perp AD$，交$AD$的延长线于点$F$。
则所作图形中是黄金矩形的是（ ）
A. 矩形$MNCD$
B. 矩形$DCEF$
C. 矩形$MNEF$
D. 矩形$DCEF$和$ABEF$

答案： B
解析：设正方形边长为2，则$ND=\sqrt{1^{2}+2^{2}}=\sqrt{5}$，$CE=\sqrt{5}-1$。
矩形$DCEF$宽为2，长为$\sqrt{5}-1$，宽与长比为$\frac{2}{\sqrt{5}-1}=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$（此处应为长与宽比，长为2，宽为$\sqrt{5}-1$，长与宽比为$\frac{2}{\sqrt{5}-1}=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$，宽与长比为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，是黄金矩形）。

3. 把长为 10 cm 的线段黄金分割后，其中较短的线段长度是______cm。

答案： 15 - 5$\sqrt{5}$
解析：黄金分割中较短线段与全长的比为$\frac{3 - \sqrt{5}}{2}$，所以较短线段长度为$10×\frac{3 - \sqrt{5}}{2}=15 - 5\sqrt{5}$cm。