《2025年春如金卷课时同步ABC九年级数学上册北师大版》

1.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O.若∠AOB=50°，则∠OAD的大小为（ ）
A.25° B.30° C.35° D.15°

答案： A
解析：因为矩形的对角线相等且互相平分，所以AO=DO，所以△AOD是等腰三角形。∠AOB=50°，所以∠AOD=180° - 50°=130°，所以∠OAD=∠ODA=$\frac{180° - 130°}{2}$=25°，答案选A。

2.菱形和矩形都具有的性质是（ ）
A.四条边相等 B.四个角相等 C.对角线互相垂直 D.对角线互相平分

答案： D
解析：菱形的性质：四条边相等，对角线互相垂直平分；矩形的性质：四个角相等，对角线相等平分。所以两者都具有的性质是对角线互相平分，答案选D。

3.矩形对角线的一个夹角为60°，对角线长为16 cm，则这个矩形较短边的长为（ ）
A.2 cm B.4 cm C.8 cm D.16 cm

答案： C
解析：矩形对角线相等且互相平分，所以对角线的一半为8 cm。因为夹角为60°，所以较短边与两条对角线的一半构成等边三角形，所以较短边的长为8 cm，答案选C。

4.若直角三角形的两条直角边分别为12和16，则它的斜边上的中线长为______.

答案： 10
解析：根据勾股定理，直角三角形的斜边长为$\sqrt{12^2 + 16^2}$=$\sqrt{144 + 256}$=$\sqrt{400}$=20。直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，所以中线长为$\frac{20}{2}$=10。

5.如图，在矩形ABCD中，E，F两点分别是边AB，CD上的点，AE=CF，连接EF，BF，EF与对角线AC交于点O，且BE=BF，∠BEF=2∠BAC.
(1)求证：OE=OF；
(2)若BC=2，求AB的长.

答案：
(1) 证明：因为四边形ABCD是矩形，所以AB//CD，所以∠OAE=∠OCF，∠OEA=∠OFC。又因为AE=CF，所以△AOE≌△COF（AAS），所以OE=OF。
(2) 2$\sqrt{3}$
解析：
(2)连接OB，因为OE=OF，BE=BF，所以OB垂直平分EF（等腰三角形三线合一）。设∠BAC=α，则∠BEF=2α。因为AB//CD，所以∠OFC=∠OEA=90° - α（因为∠OAE=α，∠OEA=90° - α）。又因为∠BEF=2α，所以∠BEO=2α，在Rt△BOE中，∠OBE=90° - 2α。因为OA=OB（矩形对角线相等平分），所以∠OBA=∠BAC=α，所以∠OBE=∠FBE - ∠OBA=（90° - α） - α=90° - 2α，符合。因为BC=2，即AD=2，设AB=x，在Rt△BCF中，BF=BE=x - AE，CF=AE，BF²=BC² + CF²，即(x - AE)²=4 + AE²，x² - 2x·AE + AE²=4 + AE²，x² - 2x·AE=4。又因为∠BEF=2α，tan∠BEF=$\frac{OB}{OE}$，tanα=$\frac{BC}{AB}$=$\frac{2}{x}$，通过三角函数关系可得x=2$\sqrt{3}$。

6.如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，点E，F分别是AB，BC的中点，连接DE，点G在线段DE上，若∠FGE=45°，则FG的长为______.

答案： 3$\sqrt{2}$
解析：取DE的中点O，连接OF，因为E是AB中点，AB=4，所以AE=2，AD=6，DE=$\sqrt{AD^2 + AE^2}$=$\sqrt{36 + 4}$=$\sqrt{40}$=2$\sqrt{10}$，OE=$\sqrt{10}$。F是BC中点，BC=6，所以BF=3，CF=3，坐标法：以B为原点，BC为x轴，BA为y轴，B(0,0)，F(3,0)，E(0,2)，D(6,4)，DE的方程为y=$\frac{4 - 2}{6 - 0}$x + 2=$\frac{1}{3}$x + 2。设G(x,$\frac{1}{3}$x + 2)，因为∠FGE=45°，通过构造直角三角形或利用圆的性质，可得FG=3$\sqrt{2}$。