《2025年春如金卷课时同步ABC九年级数学上册北师大版》

1.秋冬季节是流感高发期,有1人患了流感,经过两轮传染后共有121人患了流感,每轮传染中平均一个人传染了几个人？设每轮传染中平均一个人传染了$x$个人,则可列方程为（ ）
A.$1+x=121$
B.$(1+x)^{2}=121$
C.$1+x+x^{2}=121$
D.$1+x+x(1+x)=121$

答案： D
解析：第一轮后有$1 + x$人患病，第二轮后有$1 + x + x(1 + x)$人患病，方程为$1 + x + x(1 + x)=121$，选项D正确。

2.一个直角三角形的三边长为三个连续偶数,则它的三边长分别是（ ）
A.2,4,6
B.4,6,8
C.3,4,5
D.6,8,10

答案： D
解析：设中间偶数为$x$，则三边长为$x - 2$，$x$，$x + 2$，$(x - 2)^{2}+x^{2}=(x + 2)^{2}$，解得$x=8$，三边长为6，8，10，选项D正确。

3.一次围棋比赛,要求参赛的每两位棋手之间都要比赛一场,根据赛程计划共安排45场比赛.若设本次比赛共有$x$个参赛棋手,则可列方程为_______.

答案： $\frac{1}{2}x(x - 1)=45$
解析：单循环比赛场数公式$\frac{1}{2}x(x - 1)=45$。

4.如图,某小区想借助互相垂直的两面墙(墙体足够长),在墙角区域用40 m长的篱笆围成一个面积为$384m^{2}$的矩形花园.设宽$AB=x$m,且$AB＜BC$,则可列方程为_______.

答案： $x(40 - x)=384$
解析：$BC=40 - x$，面积$x(40 - x)=384$。

5.如图,四边形$ABCD$为矩形,$AB=6cm,AD=4cm$,若点$Q$从$A$点出发沿$AD$以1 cm/s的速度向$D$运动,$P$从$B$点出发沿$BA$以2 cm/s的速度向$A$运动,如果$P,Q$同时出发,当一个点到达终点时,另一点也同时停止.设运动的时间为$t(s)$.
(1)当$t$为何值时,$\triangle PDQ$的面积为$6cm^{2}$?
(2)是否存在$t$使$\triangle PDQ$为等腰三角形？若存在,求出$t$值;若不存在,请说明理由.

答案：
(1)$t=1$或$t=3$
解析：$AQ=t$，$QD=4 - t$，$BP=2t$，$AP=6 - 2t$，$\triangle PDQ$面积$\frac{1}{2}×QD×AP=\frac{1}{2}(4 - t)(6 - 2t)=6$，整理得$(4 - t)(6 - 2t)=12$，$24 - 8t - 6t + 2t^{2}=12$，$2t^{2}-14t + 12=0$，$t^{2}-7t + 6=0$，解得$t=1$或$t=6$（$t=6$时$AP=6 - 12=-6$舍去），所以$t=1$。
(2)存在，$t=\frac{5}{3}$或$t=\frac{16}{9}$或$t=0$
解析：$PD=\sqrt{(6 - 2t)^{2}+4^{2}}$，$DQ=4 - t$，$PQ=\sqrt{t^{2}+(6 - 2t)^{2}}$，分三种情况讨论：
①$PD=DQ$：$\sqrt{(6 - 2t)^{2}+16}=4 - t$，无解；
②$PD=PQ$：$\sqrt{(6 - 2t)^{2}+16}=\sqrt{t^{2}+(6 - 2t)^{2}}$，解得$t=4$（舍去）；
③$DQ=PQ$：$4 - t=\sqrt{t^{2}+(6 - 2t)^{2}}$，解得$t=\frac{10}{3}$（舍去）或$t=2$，所以$t=2$。

6.如图,在$\triangle ABC$中,$\angle C=90^{\circ},AC=8cm,BC=6cm$,点$D$从$B$点开始沿$BC$向$C$点以1 cm/s的速度移动,点$E$从$C$点开始沿$CA$边向$A$点以2 cm/s的速度移动,如果$D,E$分别从$B,C$同时出发,那么_______s后，线段$DE$将$\triangle ABC$分成面积1：2的两部分.

答案： 2
解析：$\triangle ABC$面积$\frac{1}{2}×6×8=24$，设$t$秒后，$BD=t$，$DC=6 - t$，$CE=2t$，$AE=8 - 2t$，$\triangle CDE$面积$\frac{1}{2}(6 - t)×2t=t(6 - t)$，当$t(6 - t)=8$时，$t^{2}-6t + 8=0$，解得$t=2$或$t=4$（$t=4$时$AE=0$舍去），所以$t=2$。