《2025年春如金卷课时同步ABC九年级数学上册北师大版》

1.如图，在$\triangle ABC$中，$DE// AB$，且$\frac{CD}{BD}=\frac{3}{2}$，则$\frac{CE}{CA}$的值为（ ）
A. $\frac{3}{5}$
B. $\frac{2}{3}$
C. $\frac{4}{5}$
D. $\frac{3}{2}$

答案： A
解析：$DE// AB$，$\frac{CE}{EA}=\frac{CD}{BD}=\frac{3}{2}$。
设$CE = 3k$，$EA = 2k$，则$CA=CE + EA=5k$。
$\frac{CE}{CA}=\frac{3k}{5k}=\frac{3}{5}$。

2.如图，直线$a,b,c$被直线$l_1,l_2$所截，交点分别为$A,C,E$三点和$B,D,F$三点。若$a// b// c$，且$AC = 3$，$CE = 4$，则$\frac{BD}{BF}$的值是（ ）
A. $\frac{3}{4}$
B. $\frac{4}{3}$
C. $\frac{3}{7}$
D. $\frac{4}{7}$

答案： C
解析：$a// b// c$，$\frac{BD}{DF}=\frac{AC}{CE}=\frac{3}{4}$。
设$BD = 3k$，$DF = 4k$，则$BF=BD + DF=7k$。
$\frac{BD}{BF}=\frac{3k}{7k}=\frac{3}{7}$。

3.如图，$l_1// l_2// l_3$，直线$AC$和$DF$被直线$l_1,l_2,l_3$所截。如果$AB = 2$，$BC = 3$，$EF = 2$，那么$DE$的长是______.

答案： $\frac{4}{3}$
解析：$l_1// l_2// l_3$，$\frac{AB}{BC}=\frac{DE}{EF}$。
$\frac{2}{3}=\frac{DE}{2}$，$DE=\frac{4}{3}$。

4.已知在$\triangle ABC$中，$D,E$两点分别在$\triangle ABC$的边$AB,AC$所在的直线上，且$DE// BC$。若$AE = 3$，$AC = 6$，$AD = 2$，则$BD$的长为______.

答案： 2或6
解析：当$D,E$在边$AB,AC$上时，$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$，$\frac{2}{AB}=\frac{3}{6}$，$AB = 4$，$BD=AB - AD=2$。
当$D,E$在边$AB,AC$延长线上时，$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$，$\frac{2}{AB}=\frac{3}{6}$，$AB = 4$，$BD=AD + AB=6$。
综上，$BD=2$或$6$。

5.如图，在$\triangle ABC$中，$DE// BC$。
（1）若$AD = 2\spacecm$，$DB = 3\spacecm$，$AE = 1\spacecm$，求$EC$的长；
（2）若$AB = 5\spacecm$，$AD = 2\spacecm$，$AC = 4\spacecm$，求$EC$的长。

答案： （1）$1.5\spacecm$；（2）$\frac{12}{5}\spacecm$
解析：（1）$DE// BC$，$\frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC}$。
$\frac{2}{3}=\frac{1}{EC}$，$EC = 1.5\spacecm$。
（2）$DB=AB - AD=5 - 2=3\spacecm$。
$DE// BC$，$\frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC}$，$\frac{2}{3}=\frac{AE}{EC}$。
设$AE = 2k$，$EC = 3k$，$AC=AE + EC=5k = 4$，$k=\frac{4}{5}$。
$EC=3k=\frac{12}{5}\spacecm$。

6.如图，已知在$\triangle ABC$中，$EF// CD$，$AF = 3$，$AD = 5$，$AE = 4$。
（1）求$AC$的长；
（2）当$AB=\frac{25}{3}$时，求证：$DE// BC$。

答案： （1）$\frac{20}{3}$；（2）见解析
解析：（1）$EF// CD$，$\frac{AF}{AD}=\frac{AE}{AC}$。
$\frac{3}{5}=\frac{4}{AC}$，$AC=\frac{20}{3}$。
（2）$AD = 5$，$AB=\frac{25}{3}$，$\frac{AD}{AB}=\frac{5}{\frac{25}{3}}=\frac{3}{5}$。
$AE = 4$，$AC=\frac{20}{3}$，$\frac{AE}{AC}=\frac{4}{\frac{20}{3}}=\frac{3}{5}$。
$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$，且$\angle DAE=\angle BAC$，$\triangle ADE\sim\triangle ABC$，$\angle ADE=\angle ABC$，$DE// BC$。