《2025年春如金卷课时同步ABC九年级数学上册北师大版》

1.如图，点$E$是$□ ABCD$边$AB$的延长线上一点，$DE$交$BC$于点$F$，则图中的相似三角形共有（ ）
A. 1对
B. 2对
C. 3对
D. 4对

答案： B
解析：$\triangle CDF\sim\triangle BEF$，$\triangle ADE\sim\triangle CDF$，共2对。

2.如图，$AB,CD$相交于点$O$，添加一个条件：______，可以使$\triangle AOD\sim\triangle COB$。

答案： $\angle A=\angle C$（答案不唯一）
解析：添加$\angle A=\angle C$，又$\angle AOD=\angle COB$，可证$\triangle AOD\sim\triangle COB$。

3.如图，在正方形网格中，$A,B,C,D$是网格线交点，$AC$与$BD$相交于点$O$，小正方形的边长为1，则$AO$的长为______.

答案： $\frac{2\sqrt{5}}{5}$
解析：由勾股定理得$AC=\sqrt{2^{2}+4^{2}}=2\sqrt{5}$，$BC=\sqrt{1^{2}+2^{2}}=\sqrt{5}$，$AD=\sqrt{1^{2}+2^{2}}=\sqrt{5}$。
$\triangle AOD\sim\triangle COB$，$\frac{AO}{CO}=\frac{AD}{BC}=1$，$AO=CO=\frac{AC}{2}=\sqrt{5}$。（此处根据图形推测，若网格不同，计算方式不同，暂按常规网格计算）

4.如图，在矩形$ABCD$中，点$M$为$BC$上一点，$EM\perp AM$交$AD$的延长线于点$E$，求证：$\triangle ABM\sim\triangle EMA$。

答案： 见解析
解析：矩形$ABCD$，$\angle B=90^{\circ}$，$AD// BC$，$\angle EAM=\angle AMB$。
$EM\perp AM$，$\angle EMA = 90^{\circ}=\angle B$。
$\triangle ABM\sim\triangle EMA$。

5.如图，在$\triangle ABC$和$\triangle ADE$中，已知$\angle B=\angle D$，$\angle BAD=\angle CAE$。求证：$\triangle ABC\sim\triangle ADE$。

答案： 见解析
解析：$\angle BAD=\angle CAE$，$\angle BAD+\angle BAE=\angle CAE+\angle BAE$，即$\angle DAE=\angle BAC$。
又$\angle B=\angle D$，$\triangle ABC\sim\triangle ADE$。

6.如图，用三个全等的菱形$ABGH,BCFG,CDEF$拼成平行四边形$ADEH$，连接$AE$，$AE$与$BG,CF$分别交于$P,Q$两点。若$AB = 9$，则$BP=$______.

答案： 3
解析：菱形$ABGH,BCFG,CDEF$全等，$AD = 3AB=27$，$BG// CF// DE$。
$\triangle ABP\sim\triangle ADE$，$\frac{BP}{DE}=\frac{AB}{AD}$。
$DE = AB=9$，$\frac{BP}{9}=\frac{9}{27}$，$BP = 3$。