《2025年春如金卷课时同步ABC九年级数学上册北师大版》

1.已知$x_{1},x_{2}$是一元二次方程$x^{2}-2x=0$的两个实数根.下列结论正确的是（ ）
A.$x_{1}+x_{2}=-2$
B.$x_{1}x_{2}=0$
C.$x_{1}+x_{2}=0$
D.$x_{1}x_{2}=-2$

答案： B
解析：方程化为一般形式$x^{2}-2x=0$，$x_{1}+x_{2}=2$，$x_{1}x_{2}=0$，选项B正确。

2.若$x_{1}$与$x_{2}$分别为方程$x^{2}+2x-3=0$的两根,则$x_{1}+x_{2}$的值等于（ ）
A.-2
B.2
C.$-\frac{3}{2}$
D.$\frac{3}{2}$

答案： A
解析：$x_{1}+x_{2}=-2$，选项A正确。

3.若关于$x$的一元二次方程$x^{2}+px+q=0$的两个根分别是2和-3,则（ ）
A.$p=-1,q=-6$
B.$p=1,q=6$
C.$p=1,q=-6$
D.$p=-1,q=6$

答案： A
解析：$x_{1}+x_{2}=-p=2 + (-3)=-1$，$p=1$；$x_{1}x_{2}=q=2×(-3)=-6$，选项C正确。

4.若$x=1$是关于$x$的一元二次方程$x^{2}+mx-2=0$的一个根,则$m=$_______,方程的另一个根是_______.

答案： 1，-2
解析：将$x=1$代入方程得$1 + m - 2=0$，$m=1$，方程为$x^{2}+x - 2=0$，因式分解得$(x + 2)(x - 1)=0$，另一个根为$x=-2$。

5.已知方程$2x^{2}-3x-4=0$,不解方程,求下列各式的值：
(1)$\frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}$；
(2)$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}$；
(3)$\frac{1}{x_{1}^{2}}+\frac{1}{x_{2}^{2}}$；
(4)$(x_{1}+2)(x_{2}+2)$.

答案：
(1)$-\frac{3}{4}$
解析：$\frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}=\frac{x_{1}+x_{2}}{x_{1}x_{2}}=\frac{\frac{3}{2}}{-2}=-\frac{3}{4}$。
(2)$\frac{25}{4}$
解析：$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=(x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1}x_{2}=(\frac{3}{2})^{2}-2×(-2)=\frac{9}{4}+4=\frac{25}{4}$。
(3)$\frac{49}{16}$
解析：$\frac{1}{x_{1}^{2}}+\frac{1}{x_{2}^{2}}=\frac{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}{(x_{1}x_{2})^{2}}=\frac{\frac{25}{4}}{4}=\frac{25}{16}$。
(4)$\frac{3}{2}$
解析：$(x_{1}+2)(x_{2}+2)=x_{1}x_{2}+2(x_{1}+x_{2}) + 4=-2 + 2×\frac{3}{2}+4=-2 + 3 + 4=5$。

6.若一元二次方程$\sqrt{2}x^{2}-6x+\sqrt{2}=0$的两个实数根分别为$x_{1},x_{2}$,且$x_{1}x_{2}$的值为菱形$ABCD$的边长,则菱形$ABCD$的周长为_______.

答案： 4
解析：$x_{1}x_{2}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=1$，菱形边长为1，周长为4×1=4。