《2025年春如金卷课时同步ABC九年级数学上册北师大版》

1.下列图形一定是相似形的是（ ）
A. 两个直角三角形
B. 两个等腰三角形
C. 两个矩形
D. 两个等边三角形

答案： D
解析：等边三角形各角都是$60^{\circ}$，各边成比例，一定相似。

2.下列四组图形中，不是相似图形的是（ ）
A.
B.
C.
D.

答案： D
解析：选项D中两个三角形形状不同，对应边不成比例，不相似。

3.利用复印机的缩放功能，将原图中边长为$5\spacecm$的一个等边三角形放大成边长为$20\spacecm$的等边三角形，那么放大前后的两个三角形的周长比是______.

答案： $1:4$
解析：放大前后边长比为$5:20 = 1:4$，周长比等于边长比，即$1:4$。

4.如图，若$\triangle ABC\sim\triangle DEF$，则$x=$______，$y=$______.

答案： $\frac{7}{2}$，$\frac{16}{3}$
解析：$\triangle ABC\sim\triangle DEF$，$\frac{AB}{DE}=\frac{BC}{EF}=\frac{AC}{DF}$。
$\frac{7}{x}=\frac{8}{4}=\frac{12}{y}$，$x=\frac{7×4}{8}=\frac{7}{2}$，$y=\frac{12×4}{8}=\frac{16}{3}$。

5.如图，四边形$ABCD\sim$四边形$EFGH$。
（1）求$\angle H$的度数；
（2）若$\frac{AB}{EF}=\frac{5}{4}$，$CD = 15$，求$HG$的长。

答案： （1）$98^{\circ}$；（2）12
解析：（1）四边形内角和为$360^{\circ}$，$\angle D=360^{\circ}-72^{\circ}-135^{\circ}-95^{\circ}=58^{\circ}$。
四边形$ABCD\sim$四边形$EFGH$，$\angle H=\angle D = 58^{\circ}$。（此处根据图形推测$\angle D$对应$\angle H$，若图形中$\angle H$对应角不同，需以图形为准，暂按常规对应关系）
（2）$\frac{AB}{EF}=\frac{CD}{HG}=\frac{5}{4}$，$\frac{15}{HG}=\frac{5}{4}$，$HG = 12$。

6.如图，四边形$ABCD$是一张矩形纸片。将其按如图所示的方式折叠，使$DA$边落在$DC$边上，点$A$落在点$H$处，折痕为$DE$；使$CB$边落在$CD$边上，点$B$落在点$G$处，折痕为$CF$。若矩形$HEFG$与原矩形$ABCD$相似，$AD = 3$，则$HG$的长为______.

答案： $\frac{3(\sqrt{5}-1)}{2}$
解析：设$HG = x$，则$HE=AD = 3$，$AB=CD=HG + HE=x + 3$。
矩形$HEFG\sim$矩形$ABCD$，$\frac{HE}{AB}=\frac{HG}{AD}$。
$\frac{3}{x + 3}=\frac{x}{3}$，$x^{2}+3x - 9 = 0$。
解得$x=\frac{-3\pm3\sqrt{5}}{2}$（负值舍去），$x=\frac{3(\sqrt{5}-1)}{2}$。